2017センター試験 数学ⅡB 2

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア　 ～　イ　
　　　　導関数は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=2x\end{align*}}$ なので、接線の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-(t^2+1)=2t(x-t) \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=2tx-t^2+1} \end{align*}}$　　･･････(*)

　　ウ　 ～　ク　
　　　　(*)が点Pを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a=2at-t^2+1 \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{t^2-2at+2a-1=0}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \{t-(2a-1)\}(t-1)=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\underline{2a-1\ ,\ 1}\end{align*}}$

　　　ケ　 ～　セ　
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=2a-1\end{align*}}$ のときの接線は(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf 2(2a-1)x-(2a-1)^2+1 \\ &=\sf \underline{(4a-2)x-4a^2+4a} \end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=1\end{align*}}$ のときの接線は(*)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\underline{2x} \end{align*}}$
　　　　これらが一致しないのは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2a-1\ne 1\ \ \Leftrightarrow\ \ a\ne \underline{1}\end{align*}}$
　　　　のときである。

　　ソ　 ～　タ　 　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=-4a^2+4a=-4a(a-1)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{0\lt a\lt 1} \end{align*}}$

　　チ　 ～　テ　 　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\frac{1}{2}ar \\ &=\sf\frac{1}{2}a(-4a^2+4a) \\ &=\sf\underline{2(a^2-a^3)} \end{align*}}$

　　ト　 ～　ネ　
　　　　Sをaで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S'=2(2a-3a^2)=-2a(3a-2)\end{align*}}$
　　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a\lt 1\end{align*}}$ の範囲で増減を調べると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\underline{\frac{2}{3}}\end{align*}}$ でSは最大となり、その値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}=2\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3\right\}=\underline{\frac{8}{27}} \end{align*}}$

　　ノ　 ～　フ　
　　　　Cは下に凸な放物線なので、接線$\scriptsize\sf{\ell}$ はCの下側にある。
　　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf \int_0^a\left[(x^2+1)-\left\{(4a-2)x-4a^2+4a\right\}\right]dx \\ &=\sf\int_0^a\left\{x^2-2(2a-1)x+(2a-1)^2\right\}dx \\ &=\sf\int_0^a(x-2a+1)^2dx \\ &=\sf\left[\frac{1}{3}(x-2a+1)^3\right]_0^a \\ &=\sf \underline{\frac{7}{3}a^3-3a^2+a}\end{align*}}$

　　ヘ　
　　　　Tをaで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T'=7a^2-6a+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{3\pm\sqrt2}{7}\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\leqq a\lt 1\end{align*}}$ の範囲で常に $\scriptsize\sf{T'\gt 0}$ となるので、Tは増加する。②