2017センター試験 数学ⅡB 1[2]

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【解答】

　　タ　
　　　　真数条件より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{p\gt 0\ ,\ q\gt 0} \end{align*}}$

　　チ　 ～　ナ　
　　　　ABを1：2に内分する点のx座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\cdot 0+1\cdot p}{1+2}=\underline{\frac{1}{3}p}\end{align*}}$
　　　　ABを1：2に内分する点のy座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\cdot \frac{3}{2}+1\cdot \log_2p}{1+2}=\underline{\frac{1}{3}\log_2p+1}\end{align*}}$

　　ニ　 ～　ネ　
　　　　⑤より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\log_2p+1=\log_2q \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2p=3\left(\log_2q-1\right)=\log_2\left(\frac{q}{2}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\left(\frac{q}{2}\right)^3=\underline{\frac{1}{8}q^3}\end{align*}}$

　　ノ　 ～　フ　
　　　　④より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=3q \end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{8}q^3=3q\ \ \Leftrightarrow\ \ q(q^2-24)=0\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q\gt 0\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=\underline{2\sqrt6}\ ,\ \ p=3q=\underline{6\sqrt6} \end{align*}}$

　　ヘ　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_22\sqrt6&=\sf 2+\frac{1}{2}\log_2(2\cdot 3)\\ &=\sf 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{\log_{10}2+\log_{10}3}{\log_{10}2}\\ &=\sf 1+\frac{0.3010+0.4771}{2\cdot 0.3010}\\ &=\sf 2.29\cdots \end{align*}}$
　　　　なので、⑥が正解