2017センター試験 数学ⅡB 1 [1]

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【解答】

　　ア　 　～　エ　
　　　　cosの倍角公式より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos2\alpha+\cos2\beta=(2\cos^2\alpha-1)+(2\cos^2\beta-1)=\frac{4}{15} \end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\alpha+\cos^2\beta=\underline{\frac{17}{15}}\end{align*}}$

　　オ　
　　　　②の両辺を2乗すると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\alpha\cos^2\beta=\left(-\frac{2\sqrt{15}}{15}\right)^2=\underline{\frac{4}{15}}\end{align*}}$

　　カ　 ～　ケ　
　　　　解と係数の関係より $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\alpha\ ,\ \cos^2\beta\end{align*}}$ はtについての二次方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 15t^2-17t+4=0\end{align*}}$
　　　　の2解であり、③より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos^2\alpha=\underline{\frac{4}{5}}\ ,\ \ \cos^2\beta=\underline{\frac{1}{3}}\end{align*}}$

　　ソ　 ～　ソ　
　　　②と $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \alpha\leqq\pi\ ,\ \ 0\leqq\beta\leqq\pi\ ,\ \ \alpha\lt\beta\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\alpha=\underline{-\frac{2\sqrt5}{5}}\ ,\ \ \cos\beta=\underline{-\frac{\sqrt3}{3}}\end{align*}}$