ア 4 イ 2 ウ 4 エ 4 オ 7
カ 1 キ 2 ク - ケ 1 コ 2
サ 2 シ 5 ス 4 セ 8 ソ 1
タ 2 チ 2 ツ 1 テ 6 ト 2
ナ 6 ニ 4 ヌ 4 ネ - ノ 1
ハ 3 ヒ 2
【解説】
ア～セ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf\int_a^{a+1}\left\{\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}x^2\right\}dx \\ &=\sf \underline{\int_a^{a+1}\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}\right)dx}\\ &=\sf \left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x\right]_a^{a+1}\\ &=\sf \underline{\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}}\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{48} \end{align*}}$
よって、Sは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ で最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\frac{25}{48} \end{align*}}$ をとる。
ソタ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=\pm 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{4}x^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x=\pm 2}\end{align*}}$
テト
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf U&=\sf\int_1^{a+1}\left\{\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\right)-1\right\}dx \\ &=\sf\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x\right]_1^{a+1} \\ &=\sf \underline{\frac{a^3}{6}+\frac{a^2}{2}}\end{align*}}$
ナ～ヌ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T&=\sf S-U \\ &=\sf \left(\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}\right)-\left(\frac{a^3}{6}+\frac{a^2}{2}\right)\\ &=\sf \underline{-\frac{a^3}{6}-\frac{a^2}{4}+\frac{a}{4}+\frac{7}{12}}\end{align*}}$
ネ～ヒ
Tをaで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dT}{da}&=\sf -\frac{a^2}{2}-\frac{a}{2}+\frac{1}{4} \\ &=\sf -\frac{1}{4}\left(2a^2+2a-1\right)\\ &=\sf \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dT}{da}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}\end{align*}}$
増減表を書くと（省略）Tが最大になるときのaの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\underline{\frac{-1+\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
