第２問
nを自然数とし、2次正方行列$\small\sf{A=\begin{pmatrix} \sf 2 &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf 2 \end{pmatrix}}$ に対して、Aのn乗を $\small\sf{A^n=\begin{pmatrix} \sf a_n &\sf b_n \\ \sf c_n &\sf d_n \end{pmatrix}}$ と表す。
(１) an=dnとbn=cnを示せ。
(２) nが奇数ならばanは偶数であること、および、nが偶数ならばanは奇数であることを示せ。
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【解答】
(１)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき、ak=dkかつbk=ckが成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A^{k+1}&=\sf A^kA \\ &=\sf\begin{pmatrix} \sf a_k &\sf b_k \\ \sf b_k &\sf a_k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2 &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf 2 \end{pmatrix} \\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf 2a_k+b_k &\sf a_k+2b_k \\ \sf a_k+2b_k &\sf 2a_k+b_k \end{pmatrix}\end{align*}}$
なので、ak+1=dk+1かつbk+1=ck+1が成り立つ。
以上より、題意は示された。
(２)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=2のとき
$\scriptsize\sf{A^2=\begin{pmatrix} \sf 2 &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2 &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 5 &\sf 4 \\ \sf 4 &\sf 5 \end{pmatrix}}$
より、a2=5となるので成り立つ。
(ⅲ) n=kのとき成り立つとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A^{k+2}&=\sf A^kA \\ &=\sf\begin{pmatrix} \sf 2a_k+b_k &\sf a_k+2b_k \\ \sf a_k+2b_k &\sf a_k+b_k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2 &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf 2 \end{pmatrix} \\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf 5a_k+4b_k &\sf 4a_k+3b_k \\ \sf 4a_k+3b_k &\sf 5a_k+4b_k \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{a_{k+2}=2(2a_k+2b_k)+a_k}$
となるので、ak+2とakの偶奇は一致する。
よって、n=k+2のときも成り立つ。
以上より、題意は示された。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/09/19(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2008
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