第４問
xyz空間の原点Oと、Oを中心とし半径1の球面上の異なる4点A、B、C、Dを考える。
点$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(\cos\frac{\alpha}{2},\sin\frac{\alpha}{2},0\right)\ ,\ B\left(\cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right),\sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right),0\right)\ \ \ \left(0\lt\alpha\lt \pi\right)\end{align*}}$ とする。点C、Dは
∠COA=∠COB=∠DOA=∠DOBを満たし、点Cのz座標は正、点Dのz座標は負と
する。
(１) 点Cの座標を$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\theta=\angle COA\ \ (0\lt\theta\lt\pi)}$ で表せ。
(２) ベクトル$\small\sf{\overrightarrow{\sf OA},\overrightarrow{\sf OB},\overrightarrow{\sf OC},\overrightarrow{\sf OD}}$ の相異なる2つのベクトルのなす角がすべて等しいとき、
点Cの座標を求めよ。
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【解答】
(１)
∠COA=∠COBなので、Cは線分ABの垂直二等分面であるzx平面上にある。
ABの中点をMとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OM=\cos\frac{\alpha}{2}\ ,\ \ AM=\sin\frac{\alpha}{2}\end{align*}}$
△OACで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC^2&=\sf 1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cos\theta \\ &=\sf 2-2\cos\theta\end{align*}}$
AB⊥CMより△AMCで三平方の定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CM^2=AC^2-AM^2=2-2\cos\theta-\sin^2\frac{\alpha}{2} \end{align*}}$
△OCMで余弦定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\angle COM &=\sf \frac{1^2+\cos^2\frac{\alpha}{2}-\left(2-2\cos\theta-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cdot 1\cdot \cos\frac{\alpha}{2}} \\ &=\sf\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}\ \ \ \ \left(\because\ \sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}=1\right) \end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\angle COM =\sqrt{1-\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2}\end{align*}}$
Cのz座標は正なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{C\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}},0,\sqrt{1-\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2}\right)}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{0\lt\alpha\lt \pi}$ かつ$\scriptsize\sf{0\lt\theta\lt \pi}$ より、∠AOB=∠AOCなので、$\scriptsize\sf{\alpha=\theta}$
よって、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{OC}=\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}},0,\sqrt{1-\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}}\right)^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{OD}=\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}},0,-\sqrt{1-\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}}\right)^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OC},\overrightarrow{\sf OD}}$ のなす角も$\scriptsize\sf{\theta}$ に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OD}=\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}}\right)^2+0-\left\{1-\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}}\right)^2\right\}=1\cdot 1\cdot\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\theta}{2}}\right)^2=\cos\theta+1\end{align*}}$ ･･････(*)
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\cos\frac{\theta}{2}\end{align*}}$ とおくと、倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\theta=2t^2-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(\frac{2t^2-1}{t}\right)^2=2t^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3t^4-4t^2+1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (3t^2-1)(t^2-1)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf t=\pm 1\ ,\ \pm\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt\frac{\theta}{2}\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\cos\frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta=2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2-1=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
よって、Cの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C\left(\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt3}}\ ,\ 0\ ,\ \sqrt{1-\left(\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt3}}\right)^2}\right)=\underline{\left(-\frac{\sqrt3}{3}\ ,\ 0\ ,\ \frac{\sqrt6}{3}\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/09/21(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2008
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