第３問
$\small\sf{\theta}$ を媒介変数として
$\small\sf{\begin{align*}\sf x=(1-\cos\theta)\cos\theta\ ,\ \ y=(1-\cos\theta)\sin\theta\ \ \ \left(0\lt \theta\lt 2\pi\right)\end{align*}}$
で表される曲線Cを考える。次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\theta}$ の関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf x=(1-\cos\theta)\cos\theta\end{align*}}$ の導関数を求めよ。
(２) $\small\sf{\theta}$ の関数 $\small\sf{\begin{align*}\sf y=(1-\cos\theta)\sin\theta\ \ \ \left(0\lt \theta\lt 2\pi\right)\end{align*}}$ の極値を求めよ。
(３) 曲線C全体の長さLを求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{d\theta}&=\sf \sin\theta\cos\theta+(1-\cos\theta)\cdot(-\sin\theta) \\ &=\sf2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta \\ &=\sf \underline{\sin 2\theta-\sin\theta}\end{align*}}$
(２)
yの導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}&=\sf \sin^2\theta+(1-\cos\theta)\cos\theta \\ &=\sf -2\cos^2\theta+\cos\theta+1\ \ \ \ \left(\because\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\right)\\ &=\sf -(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)\end{align*}}$
となるので、yの増減は次のようになる。
よってyは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ のとき極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\frac{3\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=-\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ のとき極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{-\frac{3\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
をとる。
(３)
cosの倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}=-\cos2\theta+\cos\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta \\ &=\sf\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\sin2\theta-\sin\theta\right)^2+\left(-\cos2\theta+\cos\theta\right)^2}d\theta\\ &=\sf\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\left(\cos2\theta\cos\theta+\sin2\theta\sin\theta\right)}d\theta \\ &=\sf\sqrt2\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos\theta}d\theta\\ &=\sf\sqrt2\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\frac{\theta}{2}}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{2\pi}\sin\frac{\theta}{2}d\theta\\ &=\sf 4\left[-\cos\frac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}\\ &=\sf \underline{8}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/28(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2018（全学部）
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