① 6 ② 2 ③ 24 ④ 15 ⑤ 120
⑥ 20 ⑦ 16
【解説】
①②
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\frac{5}{12}\pi&=\sf \cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) \\ &=\sf \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}\end{align*}}$
③
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{5}{12}\pi&=\sf \sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) \\ &=\sf \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &=\sf \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha&=\sf \sqrt6-\sqrt2+\left(\sqrt6-\sqrt2\right)i \\ &=\sf 4\left(\cos\frac{5}{12}\pi+i\sin\frac{5}{12}\pi\right)\end{align*}}$
ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^n=4^n\left(\cos\frac{5n}{12}\pi+i\sin\frac{5n}{12}\pi\right)\end{align*}}$
これが正の実数となるとき、偏角を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{5n}{12}\pi=2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 5n=24k\end{align*}}$ (k：整数）
となり、5と24は互いに素なので、nは24の倍数である。
よって、最小の自然数nの値は24である。
④
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^{24}=4^{24}=2^{48}\end{align*}}$
常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log_{10}\alpha^{24}&=\sf \log_{10}2^{48} \\ &=\sf 48\log_{10}2\\ &=\sf 14.88\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 14\lt\log_{10}\alpha^{24}\lt 15\ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{14}\lt\alpha^{24}\lt10^{15}\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\alpha^{24}}$ は15桁の整数である。
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\alpha^n\beta^m}{4^n}&=\sf \left(\cos\frac{5n}{12}\pi+i\sin\frac{5n}{12}\pi\right)\left(\cos\frac{m}{10}\pi+i\sin\frac{m}{10}\pi\right) \\ &=\sf \cos\frac{25n+6m}{60}\pi+i\sin\frac{25n+6m}{60}\pi\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{25\cdot 1+6\cdot (-4)=1}$ なので、$\scriptsize\sf{n=k\ ,\ m=-4k}$ とおくと、
任意の整数kは、整数n、mを用いて$\scriptsize\sf{k=25n+6m}$の形で表すことができる。
よって、$\scriptsize\sf{0\leq \theta\lt 2\pi}$ の範囲において、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\theta=\frac{25n+6m}{60}\pi\end{align*}}$ の値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \theta=0\ ,\ \frac{1}{60}\pi\ ,\ \frac{2}{60}\pi\ ,\ \cdots\ ,\ \frac{119}{60}\pi\end{align*}}$
の120通りの値を取り得る。
⑥⑦
⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \gamma=\frac{\alpha\beta^m}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{25+6m}{60}\pi=\frac{\pi}{60}+2k\pi\end{align*}}$ (k：整数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\ \ \Leftrightarrow\ \ m=20k-4=20(k-1)+16\end{align*}}$
kは整数なので、mは20で割って16余る数である。
