第１問
関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(X)=\sqrt{x}\ e^{-x}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(１) 関数f(x)の極値を求めよ。
(２) 曲線y=f(x)の変曲点のx座標を求めよ。
(３) 曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転して
できる立体の体積Vを求めよ。
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【解答】
(１)
f(x)の第1次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)&=\sf \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}-\sqrt{x}e^{-x} \\ &=\sf \frac{1-2x}{2\sqrt{x}\ e^{x}}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)は$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{2} \end{align*}}$ で極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\frac{1}{\sqrt{2e}}}\end{align*}}$ をとる。
(２)
f(x)の第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f''(x)&=\sf -\frac{1}{4x\sqrt{x}}e^{-x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}+\sqrt{x}\ e^{-x} \\ &=\sf \frac{e^{-x}}{4x\sqrt{x}}\left(4x^2-4x-1\right)\end{align*}}$
これより、x≧0の範囲でf”(x)=0となるのは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ のときであり、
この値の前後でf”(x)の符号が変化するので、曲線y=f(x)の変曲点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{x=\frac{1+\sqrt2}{2}}\end{align*}}$
である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^1\left\{f(x)\right\}^2dx \\ &=\sf\pi\int_0^1 xe^{-2x}dx \\ &=\sf\pi\left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_0^1+\frac{\pi}{2}\int_0^1e^{-2x} dx\\ &=\sf \pi\left[\left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right)e^{-2x}\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\frac{e^2-3}{4e^2}\pi}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/08/26(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2018（全学部）
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