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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018関西学院大 理系(個別日程) 数学2



第2問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。

 (1) 分母が2の累乗で分子が奇数の分数のうち、正で1より小さいものを並べて下の
    ような数列を作る。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ \frac{1}{8}\ ,\ \frac{3}{8}\ ,\ \frac{5}{8}\ ,\ \frac{7}{8}\ ,\ \frac{1}{16}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{15}{16}\ ,\ \cdots\end{align*}}$
    分母が2nの項全体を第n群と呼ぶ。一般に、第n群を$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2^n}\ ,\ \frac{3}{2^n}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{2^n-1}{2^n}\end{align*}}$ の
    ように小さい順に並べた直後に第n+1群を小さい順に並べる。

    第4群は ア  個の項からなり、第4群に属するすべての項の和は イ  である。
    第n群は ウ  個の項からなり、第n群に属するすべての項の和は エ  である。
    初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{2}\end{align*}}$ から第 n 群の最後の項までのすべての項の和をSnとすると Sn= オ 
    である。

    第n群の最初の項は、この数列全体の第 カ  項である。第2018項は第 キ 
    群に属する。

 (2) 上の数列の各項を2乗して、下のような新しい数列を作る。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1^2}{2^2}\ ,\ \frac{1^2}{4^2}\ ,\ \frac{3^2}{4^2}\ ,\ \frac{1^2}{8^2}\ ,\ \frac{3^2}{8^2}\ ,\ \frac{5^2}{8^2}\ ,\ \frac{7^2}{8^2}\ ,\ \frac{1^2}{16^2}\ ,\ \cdot\ ,\ \frac{15^2}{16^2}\ ,\ \cdots\end{align*}}$
    分母が22nの項全体をこの数列の第n群と呼ぶ。第n群に属するすべての項の和を
    Tnとし、初項 $\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1^2}{2^2}\end{align*}}$ から第n群の最後の項までのすべての項の和をUnとすると
     Tn=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ ( ク  ) ,
     Un=$\small\sf{\begin{align*}\sf\frac{1}{6}\end{align*}}$ ( ケ  )
    である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_n}{U_n}\end{align*}}$ = コ  である。



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