2011東北大 文系数学４

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【解答】

　(１)
　　　y＝x²に対してy'＝2xなので、点(a，a²)における接線Lは、
　　　　　　y－a²＝2a(x－a)　⇔　L: y＝2ax－a²
　　　同様に、接線mの接点の座標を(b，b²)とすると、
　　　　　　m: y＝2bx－b²
　　　これらより、Lとmの交点を求めると、
　　　　　　　2ax－a²＝2bx－b²
　　　　　⇔　2(a－b)x＝a²－b²
　　　a≠bなので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a+b}{2}\ \ ,\ \ y=2a\cdot\frac{a+b}{2}-a^2=ab \end{align*}}$　･･･①
　　　ここで、L⊥mなので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\cdot2b=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ ab=-\frac{1}{4} \end{align*}}$　　　　　
　　　これを①に代入して整理すると、Lとmの交点Ｐの座標は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{a}{2}-\frac{1}{8a}\ ,\ -\frac{1}{4}\right)\ \ }\end{align*}}$　　　　　


　(２)
　　　Lとmがｙ軸について対称なので、交点Ｐはｙ軸上にある。
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}-\frac{1}{8a}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　　
　　　ここで、ａ＞０としても一般性を失わないので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=-\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　　
　　　よって、L、mの方程式はそれぞれ
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=x-\frac{1}{4}\ \ ,\ \ m:\ y=-x-\frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　　
　　　となる。
　　　求める面積をＳとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{1}{2}}^0 \ \left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)\ dx+\int_0^{\frac{1}{2}}\ \left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)\ dx\end{align*}}$　　　　　
　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$　　　　　


　　最後の定積分は、「これを計算すると、」と書いてありますが、
　　もちろんマジメに計算する必要はなく、12分の1公式で一発です！