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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018旭川医科大 数学3



第3問

  aは実数でa>1とし、曲線$\small\sf{y=\log x}$ 上に2点$\small\sf{\begin{align*}\sf A\left(a,\ \log a\right)\ ,\ B\left(\frac{1}{a}\ ,\ \log\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$ をとる。
  直線ABと曲線$\small\sf{y=\log x}$ で囲まれた部分の面積をSとし、直線AB、x軸、直線$\small\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{1}{a}\end{align*}}$
   および直線x=aで囲まれた部分の面積をTとする。このとき、次の各問いに答えよ。

 (1) S、Tをaを用いて表せ。

 (2) 次の極限値を求めよ。ただし、(3)において必要であれば
      x>0 のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \log\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明なしで用いてよい。
  (ⅰ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{S}{T}\end{align*}}$
  (ⅱ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{T}{\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
  (ⅲ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{S}{\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
  (ⅳ) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{S}{T}\end{align*}}$

 (3) a>1の範囲で、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{S}{T}\end{align*}}$ は単調に増加することを示せ。

 (4) S=Tとなるaが$\small\sf{\begin{align*}\sf e^{\frac{3}{2}}\lt a\lt e^2\end{align*}}$ の範囲にただ1つあることを示せ。
    ただし、eは自然対数の底でe=2.7182・・・である。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/08/08(水) 23:57:00|
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