第３問
先生と３人の生徒Ａ、Ｂ、Ｃがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、
赤玉３個、白玉７個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、
１の目が出たらＡが、２または３の目が出たらＢが、その他の目が出たらＣが
箱の中から１つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、
取り出した生徒のものとする。この操作を２回続けて行うものとして以下の問い
に答えよ。ただし、サイコロの１から６の目の出る確率は等しいものとし、また、
箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(１) Ａが２個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。
(２) Ｂが少なくとも１個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。
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【解答】
(１)
１回目･･･サイコロの目が１で、Ａが赤玉を取り出す確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times\frac{3}{10}=\frac{1}{20}\end{align*}}$
２回目･･･サイコロの目が１で、Ａが赤玉を取り出す確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times\frac{2}{9}=\frac{1}{27}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{20}\times\frac{1}{27}=\underline{\ \frac{1}{540}\ \ }\end{align*}}$
(２)
余事象を考える。
(ア)２回ともＡまたはＣが玉を取り出す場合
（２回ともサイコロの目が２、３以外）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{6}\times\frac{4}{6}=\frac{4}{9}\end{align*}}$
(イ)１回目にＢが白玉を取り、２回目は他の人が玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\frac{4}{6}=\frac{7}{45}\end{align*}}$
(ウ)１回目に他の人が白玉を取り、２回目はＢが白玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{6}{9}\right)=\frac{14}{135}\end{align*}}$
(エ)１回目に他の人が赤玉を取り、２回目はＢが白玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\times\frac{3}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{9}\right)=\frac{7}{135}\end{align*}}$
(オ)２回目ともＢが白玉をとる場合
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\times\frac{7}{10}\right)\times\left(\frac{2}{6}\times\frac{6}{9}\right)=\frac{7}{135}\end{align*}}$
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{4}{9}+\frac{7}{45}+\frac{14}{135}+\frac{7}{135}+\frac{7}{135}\right)=\underline{\ \frac{26}{135}\ \ }\end{align*}}$
(２)は余事象で考えましたが、直接求めた方が楽でしたね＾＾；；
失敗失敗････
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/25(木) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2011
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