2011東北大 文系数学２

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【解答】

　(１)
　　　メネラウスの定理より　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DA}{OD}\cdot\frac{CB}{AC}\cdot\frac{EO}{BE}=\frac{x-1}{x}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{y}{1-y}=1\end{align*}}$
　　　　　⇔　２ｙ(ｘ－１)＝ｘ(１－ｙ)
　　　　　⇔　２ｙ＋ｘ＝３ｘｙ
　　　この両辺を ｘｙ(≠０)で割ると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3\end{align*}}$
　　　が得られる。


　(２)
　　　∠ＡＯＢ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　２Ｓ＝２△ＯＡＢ＝ＯＡ･ＯＢsin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　　　　２Ｔ＝２△ＯＤＥ＝ＯＤ･ＯＥsin$\scriptsize\sf{\theta}$
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}=\frac{OA\cdot OB\ \sin\theta}{OD\cdot OE\ \sin\theta}=\frac{1}{xy}\end{align*}}$　････①
　　　ここで、ｘ、ｙ＞０より相加相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}+\frac{1}{y}\geqq2\sqrt{\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{y}} \Leftrightarrow\ \ 3\geqq 2\sqrt{\frac{2}{xy}}\end{align*}}$　←(１)より
　　　両辺＞０なので、両辺を２乗すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9\geqq\frac{8}{xy}\end{align*}}$
　　　これと①より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}=\frac{1}{xy}\leqq\frac{9}{8}\end{align*}}$
　　　等号成立は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{x}=\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{4}{3}\ ,\ y=\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　のときである。

　　　以上より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{4}{3}\end{align*}}$ のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{T}_{max}=\frac{9}{8}\end{align*}}$

　　　　　　

　　これは簡単です。外したらダメでしょ。