2011東北大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　x≧−1　･･･(Ａ)　
　　　2･3^x＋a･3^-x≦１　･･･(Ｂ)

　　　t＝3^x （＞0）とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=3^{-1}\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (B)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2t+\frac{a}{t}\leqq1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2t^2-t+a\leqq0\end{align*}}$
　　　ここで、f(t)＝2t²－t＋aとおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=2\left(t-\frac{1}{4}\right)^2+a-\frac{1}{8}\end{align*}}$　．
　　　(Ａ)と(Ｂ)を同時に満たすｘが存在するためには、
　　　f(t)≦0となるtが $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$ の範囲に存在すればよい。
　　　そのためには、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{3}\right)\leqq 0\end{align*}}$
　　　となればよい（右図）
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{3}\right)=2\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{1}{3}+a\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a\leqq\frac{1}{9}\ \ }\end{align*}}$


　(２)
　　　x≧−1　･･･(Ａ)　
　　　2･3^x＋a･3^-x≦１　･･･(Ｃ)

　　　t＝3^x （＞0）とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ t\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (C)\ \ \Leftrightarrow\ \ t+\frac{a}{t}\geqq a\ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-at+a\geqq0\end{align*}}$
　　　ここで、g(t)＝t²－at＋aとおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\left(t-\frac{a}{2}\right)^2+a-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$　．

　　　条件を満たすためには、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq\frac{1}{3}\end{align*}}$ であるすべてのｔに対してg(t)≧0であればよい。

　　　(ⅰ)軸＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$のとき
　　　　　すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}<\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき．
　　　　　　右図より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(\frac{1}{3}\right)\geqq0\end{align*}}$
　　　　　であればよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^2-a\cdot\frac{1}{3}+a\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{6}\leqq a\end{align*}}$


　　　(ⅱ)軸≧$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$のとき
　　　　　すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\leqq a\end{align*}}$ のとき．
　　　　　　右図より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ \left(\frac{a}{2}\right)\geqq0\end{align*}}$
　　　　　であればよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\frac{a^2}{4}\geqq0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a\leqq 4\end{align*}}$

　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、求めるaの値の範囲は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{6}\leqq a\leqq 4\ \ }\end{align*}}$


　　二次関数のグラフで考えれば簡単ですが、苦手な人も多いと思います。