第２問
放物線C：y=x2+ax+bが2直線L1：y=px （p＞0)、L2：y=qx （q＜0)
と接している。また、CとL1、L2で囲まれた図形の面積をSとする。
(１) a、bをp、qを用いて表せ。
(２) Sをp、qを用いて表せ。
(３) L1、L2が直交するようにp、qが動くとき、Sの最小値を求めよ。
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【解答】
(１)
CとL1の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{x^2+ax+b=px\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(a-p\right)x+b=0}$ ･･････(ⅰ)
となり、CとL1が接するとき、(ⅰ)が重解をもつので、判別式D1は
$\scriptsize{\sf\begin{align*}\sf D_1=\left(a-p\right)^2-4b=0 \end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
一方、CとL2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{x^2+ax+b=qx\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(a-q\right)x+b=0}$ ･･････(ⅲ)
となり、CとL2が接するとき、(ⅲ)が重解をもつので、判別式D2は
$\scriptsize{\sf\begin{align*}\sf D_2=\left(a-q\right)^2-4b=0 \end{align*}}$ ･･････(ⅳ)
(ⅱ)、(ⅳ)を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a-p\right)^2=\left(a-q\right)^2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(p-q\right)a=p^2-q^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=\frac{p^2-q^2}{2\left(p-q\right)}=\underline{\frac{p+q}{2}} \ \ \ \left(\because\ p\ne q\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{p+q}{2}-q\right)^2-4b=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b=\underline{\frac{1}{16}\left(p-q\right)^2} \end{align*}}$
(２)
CとL1の接点のx座標をt1とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-\frac{p-q}{2}x+\frac{1}{16}\left(p-q\right)^2=\left(x-\frac{p-q}{4}\right)^2=0\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_1=\frac{p-q}{4}\end{align*}}$
同様に、CとL2の接点のx座標をt2とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (iii)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+\frac{p-q}{2}x+\frac{1}{16}\left(p-q\right)^2=\left(x+\frac{p-q}{4}\right)^2=0\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t_2=-\frac{p-q}{4}\end{align*}}$
C、L1、L２の位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{t_2}^0\left(x^2+ax+b-qx\right)dx+\int_0^{t_1}\left(x^2+ax+b-px\right)dx \\ &=\sf\int_{t_2}^0\left(x+\frac{p-q}{4}\right)^2dx+\int_0^{t_1}\left(x-\frac{p-q}{4}\right)^2dx\\ &=\sf\left[\frac{1}{3}\left(x+\frac{p-q}{4}\right)^3\right]_{-\frac{p-q}{4}}^0+\left[\frac{1}{3}\left(x-\frac{p-q}{4}\right)^3\right]_0^{\frac{p-q}{4}}\\ &=\sf \frac{1}{3}\left(\frac{p-q}{4}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\frac{p-q}{4}\right)^3\\ &=\sf \underline{\frac{1}{96}\left(p-q\right)^3} \end{align*}}$
(３)
L1⊥L２より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf pq=-1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf q=-\frac{1}{p}\end{align*}}$
p＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{96}\left(p+\frac{1}{p}\right)^3 \\ &\geq\sf \frac{1}{96}\left(2\sqrt{p\cdot\frac{1}{p}}\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{12}\end{align*}}$
となるので、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{min}=\underline{\frac{1}{12}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/06/02(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2018
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