第5問
座標空間において、Oを原点とし、$\small\sf{A(2,\ 0,\ 0)\ ,\ B(0,\ 2,\ 0)\ ,\ C(1,\ 1,\ 0)}$
とする。△OABを直線OCの周りに1回転してできる回転体をLとする。
以下の問に答えよ。
(1) 直線OC上にない点$\small\sf{P(x,\ y,\ z)}$ から直線OCにおろした垂線をPHとする。
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OH}}$ と$\small\sf{\overrightarrow{\sf HP}}$ をx、y、zの式で表せ。
(2) 点$\small\sf{P(x,\ y,\ z)}$ がLの点であるための条件は
$\small\sf{z^2\leqq 2xy}$ かつ $\small\sf{0\leqq x+y\leqq 2}$
であることを示せ。
(3) $\small\sf{1\leqq a\leqq 2}$ とする。Lを平面$\small\sf{x=a}$ で切った切り口の面積S(a)を求めよ。
(4) 立体$\small\sf{\{\left(x,\ y,\ z\right)\big|\ \left(x,\ y,\ z\right)\in L\ ,\ \ 1\leqq x\leqq 2\}}$ の体積を求めよ。
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【解答】
(1)
Hは直線OC上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OH}=k\overrightarrow{\sf OC}=\left(k,k,0\right)}$
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf HP}=\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OH}=\left(x-k,y-k,z\right)}$
と表すことができる。OC⊥HPなので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf HP}=\left(x-k\right)+\left(y-k\right)+0=0\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{x+y}{2} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OH}=\underline{\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},0\right)}\ ,\ \ \ \overrightarrow{\sf HP}=\underline{\left(\frac{x-y}{2},-\frac{x-y}{2},z\right)}\end{align*}}$
(2)
AB⊥OCより、PがLの点であるとき、Hは線分OC上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leq\frac{x+y}{2}\leq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{0\leq x+y\leq 2} \end{align*}}$
Hを通り、OCに垂直な平面とx軸との交点をKとすると、
△OHKは直角二等辺三角形なので、HK=OH.
PがLの点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf HP\leq HK&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{x-y}{2}\right)^2+\left(-\frac{x-y}{2}\right)^2+z^2\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{z^2\leq 2xy}\end{align*}}$
(3)
x=aのとき、(2)の不等式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z^2\leq 2ay\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geq\frac{z^2}{2a}\ \ \ \ \left(\because\ a\geq 0\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{0\leq a+y\leq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ -a\leq y\leq 2-a}$
となり、これを図示すると右図のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{p=\sqrt{2a\left(2-a\right)}}$
とおくと、その面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(a\right)&=\sf \int_0^p \left(2-a-\frac{z^2}{2a}\right)dz\\ &=\sf 2\left[\left(2-a\right)z-\frac{z^3}{6a}\right]_0^p\\ &=\sf 2\left\{\left(2-a\right)\sqrt{2a\left(2-a\right)}-\frac{2a\left(2-a\right)}{6a}\sqrt{2a\left(2-a\right)}\right\}\\ &=\sf \underline{\frac{4\sqrt2}{3}\left(2-a\right)\sqrt{2a-a^2}}\end{align*}}$
(4)
求める体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf\int_1^2S\left(a\right)da \\ &=\sf \frac{4\sqrt2}{3}\int_1^2\left(2-a\right)\sqrt{2a-a^2}da\\ &=\sf \frac{4\sqrt2}{3}\left\{\int_1^2\left(1-a\right)\sqrt{2a-a^2}da+\int_1^2\sqrt{2a-a^2}da\right\}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{u=2a-a^2}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{du}{da}=2-2a \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left(1-a\right)\sqrt{2a-a^2}da&=\sf \int_1^0\left(1-a\right)\sqrt{u}\cdot\frac{du}{2-2a} \\ &=\sf\frac{1}{2}\int_1^0u^{\frac{1}{2}}du\\ &=\sf\frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}u^{\frac{3}{2}}\right]_1^0 \\ &=\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$
一方、$\scriptsize\sf{a-1=cos\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{da}{d\theta}=-sin\theta \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\sqrt{2a-a^2}da&=\sf \int_1^2\sqrt{1-\left(a-1\right)^2}da \\ &=\sf \int_{\pi/2}^0\sqrt{1-cos^2\theta}\cdot\left(-sin\theta\right)d\theta\\ &=\sf \int_0^{\pi/2}sin^2\theta d\theta\\ &=\sf\int_0^{\pi/2}\frac{1-cos2\theta}{2}d\theta \\ &=\sf \frac{1}{2}\left[\theta-\frac{1}{2}sin2\theta\right]_0^{\pi/2}\\ &=\sf \frac{\pi}{4} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\frac{4\sqrt2}{3}\left(-\frac{1}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\underline{\frac{\sqrt2}{9}\left(3\pi-4\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/05/19(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2018
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