第3問
方程式
ex(1-sinx)=1
について、次の問いに答えよ。
(1) この方程式は負の実数解を持たないことを示せ。また、正の実数解を
無限個持つことを示せ。
(2) この方程式の正の実数解を小さい方から並べてa1、a2、a3、・・・とし、
$\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ とおく。このとき極限値 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$$\small\sf{\frac{S_n}{n^2}}$ を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^x\left(1-sin x\right)=1\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
(1)
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=e^x\left(1-sin x\right)-1\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)&=\sf e^x\left(1-sin x\right)+e^x\left(-cos x\right) \\ &=\sf -e^x\left(sin x+cos x-1\right)\\ &=\sf -e^x\left\{\sqrt2sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right\}\end{align*}}$
となるので、nを整数として
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2n\pi\ ,\ \frac{3\pi}{4}+2n\pi\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=2n\pi\ ,\ 2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)\gt 0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\lt \frac{1}{\sqrt2} \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\left(n-1\right)\pi+\frac{\pi}{2}\lt x\lt 2n\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)\lt 0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\gt \frac{1}{\sqrt2} \ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2n\pi\lt x\lt 2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
よって、極小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)&=\sf e^{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\left\{1-sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right\}-1=-1\lt 0\end{align*}}$
極大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2n\pi\right)&=\sf e^{2n\pi}\left(1-sin\ 2n\pi\right)-1=e^{2n\pi}-1\end{align*}}$
となるので、
n>0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2n\pi\right)=e^{2n\pi}-1\gt 0\end{align*}}$
n=0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2n\pi\right)=e^{0}-1=0\end{align*}}$
n<0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2n\pi\right)\lt 0\end{align*}}$
よって、x<0で常にf(x)となるので、(*)は負の実数解を持たない。
また、n=1,2,3,・・・に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2n\pi-\frac{\pi}{2}\right)\lt 0\ \ ,\ \ f\left(2n\pi\right)\gt 0\ \ ,\ \ f\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\lt 0\end{align*} }$
なので、中間値の定理より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n\pi-\frac{\pi}{2}\lt x\lt 2n\pi\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n\pi\lt x\lt 2n\pi+\frac{\pi}{2}\end{align*} }$
にそれぞれ実数解を持つ。よって、正の実数解を無限個持つことになる。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\lt a_1\lt 2\pi \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\pi\lt a_2\lt 2\pi+\frac{\pi}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\pi+\frac{\pi}{2}\lt a_3\lt 4\pi \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\pi\lt a_4\lt 4\pi+\frac{\pi}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\vdots}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2(n-1)\pi+\frac{\pi}{2}\lt a_{2n-1}\lt 2n\pi \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2n\pi\lt a_{2n}\lt 2n\pi+\frac{\pi}{2} \end{align*}}$
これらの和を考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\left\{2\left(k-1\right)\pi+\frac{\pi}{2}\right\}+\sum_{k=1}^n2k\pi&=\sf\pi\left\{n\left(n+1\right)-\frac{3}{2}n\right\}+\pi n\left(n+1\right) \\ &=\sf \frac{\pi}{2}n\left(4n+1\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n2k\pi+\sum_{k=1}^n\left\{2k\pi+\frac{\pi}{2}\right\}=\frac{\pi}{2}n\left(4n+1\right)+2n\pi \end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}n\left(4n+1\right)\lt S_{2n}\lt \frac{\pi}{2}n\left(4n+1\right)+2n\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{8}\left(4+\frac{1}{n}\right)\lt \frac{S_{2n}}{\left(2n\right)^2}\lt \frac{\pi}{8}\left(4+\frac{1}{n}\right)+\frac{\pi}{2n}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{8}\left(4+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{\pi}{8}\left(4+\frac{1}{n}\right)+\frac{\pi}{2n}\right\}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_{2n}}{\left(2n\right)^2}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}n\left(4n+1\right)-2n\pi\lt S_{2n-1}\lt \frac{\pi}{2}n\left(4n+1\right)-\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi n\left(4n+1\right)}{2\left(2n-1\right)^2}-\frac{2n\pi}{\left(2n-1\right)^2}\lt \frac{S_{2n-1}}{\left(2n-1\right)^2}\lt \frac{\pi n\left(4n+1\right)}{2\left(2n-1\right)^2}-\frac{\pi}{2\left(2n-1\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{2\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}-\frac{\frac{2}{n}\pi}{\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}\lt \frac{S_{2n-1}}{\left(2n-1\right)^2}\lt \frac{\pi n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{2\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}-\frac{\pi}{2\left(2n-1\right)^2}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{\pi n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{2\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}-\frac{\frac{2}{n}\pi}{\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}\right\}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{\pi n\left(4+\frac{1}{n}\right)}{2\left(2-\frac{1}{n}\right)^2}-\frac{\pi}{2\left(2n-1\right)^2}\right\}=\frac{\pi}{2}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_{2n-1}}{\left(2n-1\right)^2}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
以上より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_{n}}{n^2}=\underline{\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/04/13(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2018
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