第２問
a、bを正の実数とし、f(x)=x4-ax3+bx2-ax+1とする。
(１) cを実数とし、f(x)がx-cで割り切れるとする。このとき、c＞0であり、f(x)は
$\small\sf{\left(x-c\right)\left(x-\frac{1}{c}\right)}$ で割り切れることを示せ。
(２) f(x)がある実数s、t、u、vを用いて
f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)
と因数分解できるとき、a≧4が成り立つことを示せ。
(３) a=5とする。f(x)がある実数s、t、u、vを用いて
f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)
と因数分解できるような自然数bの値をすべて求めよ。
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【解答】
(１)
f(x)がx-cで割り切れるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(c\right)&=\sf c^4-ac^3+bc^2-ac+1=0\end{align*}}$ ･･････(i)
a、b＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a\left(c^2+1\right)c=c^4+bc^2+1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf c=\frac{c^4+bc^2+1}{a\left(c^2+1\right)}\gt 0 \end{align*}}$
c≠1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{1}{c}\right)&=\sf \frac{1}{c^4}-\frac{a}{c^3}+\frac{b}{c^2}-\frac{a}{c}+1 \\ &=\sf \frac{1}{c^4}\left(c^4-ac^3+bc^2-ac+1\right)\\ &=\sf 0\ \ \ \left(\because\ (i)\right)\end{align*}}$
となるので、f(x)はx-$\scriptsize\sf{\frac{1}{c}}$ でも割り切れる。
c=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2-2a+b=0 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf b=2a-2 \end{align*}}$
となり、このときf(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&=\sf x^4-ax^3+\left(2a-2\right)x^2-ax+1\\ &=\sf x^4-2x^2+1-a\left(x^3-2x^2+x\right)\\ &=\sf \left(x^2-1\right)^2-ax\left(x-1\right)^2\\ &=\sf \left(x-1\right)^2\left\{\left(x+1\right)^2-ax\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、題意を満たす。
(２)
f(x)がx-sとx-tで割り切れるとき、(１)よりs＞0、t＞0であり、
x-$\scriptsize\sf{\frac{1}{s}}$ とx-$\scriptsize\sf{\frac{1}{t}}$ でも割り切れる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&=\sf \left(x-s\right)\left(x-\frac{1}{s}\right)\left(x-t\right)\left(x-\frac{1}{t}\right) \\ &=\sf \left\{x^2-\left(s+\frac{1}{s}\right)x+1\right\}\left\{x^2-\left(t+\frac{1}{t}\right)x+1\right\}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=s+\frac{1}{s}\ \ ,\ \ T=t+\frac{1}{t} \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&=\sf \left(x^2-Sx+1\right)\left(x^2-Tx+1\right)\\ &=\sf x^4-\left(S+T\right)x^3+\left(ST+2\right)x^2-\left(S+T\right)x+1\end{align*}}$
であり、係数を比較すると、
a=S+T ･･････(ii)
b=ST+2 ･･････(iii)
s、t＞0なので、相加・相乗平均より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\geq 2\sqrt{s\cdot\frac{1}{s}}=2\ \ ,\ \ T\geq 2 \end{align*}}$
よって、
a=S+T≧4
が成り立つ。
(３)
a=5と(ii)より
S+T=5 ⇔ T=5-S
であり、S≧2、T≧2より、2≦S≦3
よって、(iii)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b&=\sf S\left(5-S\right)+2\ \ \ \ \left(2\leq S\leq 3\right) \\ &=\sf -S^2+5S+2\\ &=\sf -\left(S-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{33}{4}\end{align*}}$
また、S=2，3のときb=8となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 8\leq b\leq\frac{33}{4}\end{align*}}$
となり、これを満たす自然数はb=8のみである。
相反方程式というやつです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/03/21(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2018
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