青木ゼミ青木2018大阪大　理系数学４

2018大阪大　理系数学４

第４問

　　座標空間に6点
　　　　　$\small\sf{A\left(0,0,1\right),B\left(1,0,0\right),C\left(0,1,0\right),D\left(-1,0,0\right),E\left(0,-1,0\right),F\left(0,0,-1\right)}$
　　を頂点とする正八面体ABCDEFがある。s、tを0＜s＜1、0＜t＜1を満たす実数とする。
　　線分AB、ACを1-s：sに内分する点をP、Qとし、線分FD、FEをそれぞれ1-t：tに内分
　　する点をR、Sとする。

　(１) 4点P、Q、R、Sは同一平面上にあることを示せ。

　(２) 線分PQの中点をLとし、線分RSの中点をMとする。s、tが0＜s＜1、0＜t＜1の
　　　範囲を動くとき、線分LMの長さの最小値mを求めよ。

　(３) 正八面体ABCDEFの4点P、Q、R、Sを通る平面による切り口の面積をXとする。
　　　線LMの長さが(２)の値mをとるとき、Xを最大とするようなs、tの値と、そのときの
　　　 Xの値を求めよ。
　　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　AP：BP=AQ:CQより、PQ//BC.
　　　同様にSR//EDであり、BC//EDなので、PQ//SR.
　　　よって、4点P、Q、R、Sは同一平面上にある。

　(２)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{P\left(1-s,0,s\right),Q\left(0,1-s,s\right),R\left(-1+t,0,-t\right),S\left(0,-1+t,-t\right)}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L\left(\frac{1-s}{2},\frac{1-s}{2},s\right)\ ,\ M\left(-\frac{1-t}{2},-\frac{1-t}{2},-t\right) \end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf LM}=\left(1-\frac{s+t}{2},1-\frac{s+t}{2},s+t\right) \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf LM^2&=\sf \left(1-\frac{s+t}{2}\right)^2+\left(1-\frac{s+t}{2}\right)^2+\left(s+t\right)^2 \\ &=\sf \frac{3}{2}\left(s+t\right)^2-2\left(s+t\right)+2\\ &=\sf \frac{3}{2}\left\{\left(s+t\right)-\frac{2}{3}\right\}^2+\frac{4}{3}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{s+t=\frac{2}{3}}$
　　　のとき、LMは最小値
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m&=\sf \sqrt{\frac{4}{3}}=\underline{\frac{2}{\sqrt3}}\end{align*}}$
　　　をとる。

　(３)
　　　4点P、Q、R、Sを通る平面を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおき、$\scriptsize\sf{\alpha}$ と線分CD、BEの交点をそれぞれ
　　　T、Uとすると、PQ//BCよりBC//UTなので、UT=BC=$\scriptsize\sf{\sqrt2}$ .
　　　(２)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(-1+s,1-s,0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf LM}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PQ}\cdot\overrightarrow{\sf LM}=\frac{1}{3}\left(-1+s\right)+\frac{1}{3}\left(1-s\right)+0=0 \end{align*}}$
　　　なのでPQ⊥LMであり、PQ//SRなので、SR⊥LMである。
　　　UTとLMの交点をHとすると、Hのz座標は0であり、L、Mのz座標はそれぞれ
　　　s，-tなのでLH：MH=s：tである。よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf LH=\frac{s}{s+t}m=\frac{s}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\sqrt3\ s\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf MH=\frac{t}{s+t}m=\sqrt3\ t\end{align*}}$
　　　一方、AP：BP=AQ：CQ=1-s：s、 FR：DR=FS：ES=1-t：tなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ=\left(1-s\right)BC=\sqrt2\left(1-s\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf RS=\left(1-t\right)BC=\sqrt2\left(1-t\right)\end{align*}}$
　　　断面積Xは、2つの台形PUTQ、RSUTの面積の和なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X&=\sf \left\{\sqrt2+\sqrt2\left(1-s\right)\right\}\cdot\sqrt3s\cdot\frac{1}{2}+ \left\{\sqrt2+\sqrt2\left(1-t\right)\right\}\cdot\sqrt3t\cdot\frac{1}{2}\\ &=\sf \sqrt6\left(s+t\right)-\frac{\sqrt6}{2}\left(s^2+t^2\right)\\ &=\sf \sqrt6\left(s+t\right)-\frac{\sqrt6}{2}\left\{\left(s+t\right)^2-2st\right\}\\ &=\sf \sqrt6\ st+\frac{4}{9}\sqrt6\ \ \ \ \left(\because\ s+t=\frac{2}{3}\right) \end{align*}}$
　　　s、t＞0なので、相加・相乗平均より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sqrt{st}\leq\frac{s+t}{2}=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ st\leq\frac{1}{9}}$　　（等号成立は、s=t=$\scriptsize\sf{\frac{1}{3}}$ のとき）
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X\leq\frac{1}{9}\sqrt6+\frac{4}{9}\sqrt6=\frac{5}{9}\sqrt6\end{align*}}$
　　　となるので、Xの最大値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X_{max}=\underline{\frac{5}{9}\sqrt6}\ \ \ \ \ \left(s=t=\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/03/23(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2018

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