青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2018立命館大学 理系(2月3日) 数学2



第2問

 (1) 正の実数tに対して複素数 $\small\sf{w=\frac{\sin t}{t}+i\frac{\cos t}{t}}$ を考える。複素数wを極形式で
    表すと、
        w= ア  {cos( イ  )+isin( イ  )}
    である。複素数の偏角θを$\small\sf{-\pi}$ <θ≦$\small\sf{\pi}$ の範囲で考えると、tが$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ ≦t≦$\small\sf{\pi}$ の
    範囲を動くとき、θの動く範囲は
         ウ  ≦θ≦ エ 
    である。この複素数wが複素数平面上で描く曲線をCとする。t=$\small\sf{\frac{\pi}{2}}$ のとき
    w= オ  である。ここで、 オ  の表す点における曲線Cの接線を考える。
    この接線は、変数sが実数全体を動くときの、、複素数
       z= オ  + カ  s
    が表す点の軌跡である。ただし、| カ  |=1であり、zが純虚数であるとき
    sは正であるとする。

 (2) z=a+bi (a、bは実数)、$\small\sf{\overline{z}}$ とzは共役な複素数とする。複素数z、$\small\sf{\overline{z}}$ が
    z2+3z$\small\sf{\overline{z}}$ +$\small\sf{\overline{z}}$ 2=5を満たすとき、a、bは関係式
        a2+ ク  b2=1
    を満たす。次に、原点をOとし、複素数q=1+2iが表す点をQとする。複素数
    zが表す点と直線OQに関して対称となる点を表す複素数をz’とすると、c、dは
    関係式
         ケ  c2+ コ  cd+ サ  d2=1
    を満たす。
    (ただし、 キ  ク  ケ  コ  は実数である。)





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