第４問
次の をうめよ。
(１) さいころを2回投げて出た目の数を順にm、nとする。xの2次方程式
x2-2mx+n=0の2つの解をα、βとするとき、α+β+αβ=10となる
確率は ① であり、α、βがともに実数となる確率は ② である。
(２) OA=4、OB=2である三角形OABにおいて、$\small\sf{ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}}$ =4とする。
辺ABを2：3に内分する点をCとすると、$\small\sf{ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}}$ の値は ③ である。
また、点Bを通り直線OCに垂直な直線と直線OAとの交点をDとし、
$\small\sf{\overrightarrow{\sf OD}=k\overrightarrow{\sf OA}}$ を満たす実数をkとする。このとき、k= ④ である。
(３) 方程式61x+19y=1を満たす整数x、yの組のうち、xが2桁の自然数で
最も小さいものは(x，y)= ⑤ である。
(４) O(0，0)を原点とする座標平面を考える。このとき、定点(2，0)と直線
x=-2から等距離にある点(x，y)の軌跡Cを表す方程式は ⑥ +x=0
である。また、点(-2，0)を通るCの接線の傾きは ⑦ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{ \frac{1}{12}}$ ② $\scriptsize\sf{\frac{29}{36}}$ ③ $\scriptsize\sf{\frac{36}{5}}$ ④ $\scriptsize\sf{\frac{5}{14}}$ ⑤ (24，-77)
⑥ $\scriptsize\sf{ -\frac{y^2}{8}}$ ⑦ ±1
【解説】
①
解と係数の関係より、α+β=2m、 αβ=nなので、
α+β+αβ=2m+n=10
これを満たすのは、
(m，n)=(2，6)、(3，4)、(4，2)
の3組なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\frac{3}{6^2}=\underline{\frac{1}{12}}}$
②
判別式を考えると、
D/4=m2-n≧0
これを満たさないのは、
(m，n)=(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、
(2，5)、(2，6)
の7組なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{ 1-\frac{7}{6^2}=\underline{\frac{29}{36}}}$
③
$\scriptsize\sf{\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{ \overrightarrow{\sf OC}=\frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{5}}$
なので、
$\scriptsize\sf{ \begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}&=\sf \frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{5}\cdot\left(\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right) \\ &=\sf \frac{1}{5}\left(3|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\\ &=\sf \underline{\frac{36}{5}}\end{align*}}$
④
OC⊥BDより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BD}\cdot\overrightarrow{\sf OC}&=\sf \left(k\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{5} \\ &=\sf \frac{1}{5}\left(3k|\overrightarrow{\sf a}|^2-3\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2k\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-2|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\\ &=\sf \frac{1}{5}\left(48k-12+8k-8\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{ \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\underline{\frac{5}{14}}}$
⑤
61=19・3+4 ⇔ 4=61-19・3
19=4・5-1 ⇔ 1=4・5-19=5・(61-19・3)-19
⇔ 61・5-19・16=1
これと、61x+19y=1の辺々の差をとると、
61(x-5)+19(y+16)=0
61と19は互いに素なので、x-5は19の倍数となり、
整数kを用いて
x-5=19k ⇔ x=5+19k
と表せる。これを満たす2桁の自然数xで最小のものは
x=24
このとき、
61・24+19y=1 ⇔ y=-77
⑥
$\scriptsize\sf{\left(x-2\right)^2+y^2=\left|x+2\right|^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-\frac{y^2}{8}+x+=0}}$
⑦
接線をy=m(x+2)とおいて、2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{-\frac{m^2\left(x+2\right)^2}{8}+x+=0\ \ \Leftrightarrow\ \ m^2x^2+\left(4m^2-8\right)x+4m^2=0}$
これが重解をもてばよいので、
$\scriptsize\sf{ D/4=\left(2m^2-4\right)^2-4m^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\underline{\pm 1}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/17(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2018（2/5）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
<<
2018関西大 理系（2月2日） 数学１ |
ホーム |
2018関西大 理系（2月5日） 数学３>>
- トラックバック URL
- http://aozemi.blog.fc2.com/tb.php/2727-6310cfc6
- この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
