① 2k-1 ② $\scriptsize\sf{\frac{2L-1}{2^{k}}}$ ③ $\scriptsize\sf{\frac{127}{128}}$ ④ $\scriptsize\sf{\frac{127}{2}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{ \frac{289}{512}}$
⑥ 1024
【解説】
①
分子は1以上2k未満の奇数なので、その個数は
$\scriptsize\sf{\frac{2^{k}}{2}=\underline{2^{k-1}}}$ 個
②
分母は2k、分子はL番目の奇数なので2L-1
③
第k群の末項は、初項から数えて
$\scriptsize\sf{ 1+2+2^2+\ldots +2^{k-1}=\frac{2^k-1}{2-1}=2^k-1}$ 番目
127=27-1より、a127は第7群の末項なので、
$\scriptsize\sf{a_{127}=\frac{2^7-1}{2^7}=\underline{\frac{127}{128}}}$
④
第k群の総和は
$\scriptsize\sf{ \frac{1+3+\ldots +\left(2^k-1\right)}{2^k}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 2^{k-1}\bigg\{1+\left(2^k-1\right)\bigg\}}{2^k}=2^{k-2}}$
a127は第7群の末項なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{127}a_n &=\sf\sum_{k=1}^72^{k-2}=\frac{2^{-1}\left(2^7-1\right)}{2-1}=\underline{\frac{127}{2}}\end{align*}}$
⑤
28-1＜400＜29-1なので、a400は第9群に属する。
第9群の初項は、(28-1)+1=256より、a256なので、
a400は、第9群の 400-256+1=145番目の項である。
よって、
$\scriptsize\sf{ \frac{2\cdot 145-1}{2^9}=\underline{\frac{289}{512}}}$
⑥
底4＞1より
$\scriptsize\sf{ \log_4a_n<-5\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n<4^{-5}=\frac{1}{2^{10}}}$
これを最初に満たす項は、$\scriptsize\sf{ \frac{1}{2^{11}}}$ なので、第11群の初項である。
よって、n=210=1024
