第１問
関数f(x)=2cosx+xについて、次の問いに答えよ。
(１) 0≦x≦πのとき、f’(x)=0を満たすxの値を求め、f(x)の増減を
表に示せ。ただし、f(x)の凹凸を調べる必要はない
(２) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$のとき、f(x)＞0を示せ。
(３) 定積分$\small\sf{ \int_0^{\pi}f\left(x\right)dx}$を求めよ。
(４) 座標平面上の2直線x=0、x=πと2つの曲線y=f(x)、y=sinx+xに
よって囲まれる部分の面積を求めよ。
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【解答】
(１)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{f\ '\left(x\right)=-2\sin x+1}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=\frac{1}{2} \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\ \ \ \ \left(\because\ 0\leq x\leq\pi\right) \end{align*}}$
よって、f(x)の増減は次のようになる。
ただし、
$\scriptsize\sf{f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}+\sqrt3\ \ ,\ \ f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}-\sqrt3\ \ ,\ \ f\left(\pi\right)=\pi-2}$
(２)
$\scriptsize\sf{\pi}$＜3.2かつ $\scriptsize\sf{\sqrt3\gt 1}$ より
$\small\sf{\frac{5\pi}{6}-\sqrt3\lt \frac{5\times 3.2}{6}-1=\frac{7}{3}\lt 2\ \ \Rightarrow\ \ f\left(\frac{5\pi}{6}\right)\lt f\left(0\right)}$
なので、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$のとき、f(x)はx=$\scriptsize\sf{ \frac{5\pi}{6}}$ で最小となる。
よって、3＜π かつ $\scriptsize\sf{\sqrt3 \lt 2}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&\geq\sf f\left(\frac{5\pi}{6}\right)\\ &=\sf \frac{5\pi}{6}-\sqrt3\\ &>\sf \frac{5\times 3}{6}-2\\ &\gt\sf 0\end{align*}}$
となるので、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$のとき、f(x)＞0が成り立つ。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}f\left(x\right)dx&=\sf \int_0^{\pi}\left(2\cos x+x\right)dx\\ &=\sf \left[2\sin x+\frac{x^2}{2}\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi^2}{2}}\end{align*}}$
(４)
2曲線の0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$における共有点のx座標をaとおくと、
$\scriptsize\sf{2\cos a+a=\sin a+a\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan a=2}$
0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$より
$\scriptsize\sf{\sin a=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt5}\ \ ,\ \ \cos a=\frac{1}{2}\sin a=\frac{1}{\sqrt5}}$
よって、求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^a\bigg\{\left(2\cos x+x\right)-\left(\sin x+x\right)\bigg\}dx+\int_a^{\pi}\bigg\{\left(\sin x+x\right)-\left(2\cos x+x\right)\bigg\}dx \\ &=\sf\bigg[2\sin x+\cos x\bigg]_0^a+\bigg[-2\sin x-\cos x\bigg]_a^{\pi} \\ &=\sf 4\sin a+2\cos a\\ &=\sf \underline{2\sqrt5}\end{align*}}$
例年通りです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/14(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2018（2/5）
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