第4問
xy平面上の曲線C：y=e-xを考える。ただし、eは自然対数の底とする。
数列{an}を次のように定める。a1=0とする。曲線C上の点An(an，$\small\sf{\begin{align*} \sf e^{-a_n}\end{align*}}$)
における曲線Cの接線Lnとx軸との交点のx座標をan+1とする。
曲線Cと直線Lnおよびx=an+1で囲まれる部分をDnとする。また、Dnの
面積をSnとし、Dnをx軸の周りに1回転してできる立体の体積をVnとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) A1(0，1)における曲線Cの接線L1の方程式を求めよ。また、a2の値を
求めよ。
(2) S1の値を求めよ。
(3) an+1をanの式で表し、数列{an}の一般項を求めよ。また、直線Lnの
方程式を求めよ。
(4) 数列{Sn}の一般項および $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n\end{align*}}$ の値を求めよ。
(5) 数列{Vn}の一般項を求めよ。
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【解答】
(1)
(e-x)’=-e-xなので、
L1： y-1=-e0(x-0) ⇔ y=-x+1
これがx軸と点(a2，0)で交わるので、
0=-a2+1 ⇔ a2=1
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1&=\sf \int_0^1\bigg\{e^{-x}-\left(-x+1\right)\bigg\}dx \\ &=\sf \left[-e^{-x}+\frac{x^2}{2}-x\right]_0^1\\ &=\sf \underline{-e^{-1}+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(3)
点Anにおける接線Lnの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-e^{-a_n}=-e^{a_n}\left(x-a_n\right)\end{align*}}$
であり、これがx軸と点(an+1，0)で交わるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0-e^{-a_n}=-e^{a_n}\left(a_{n+1}-a_n\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a_{n+1}=a_n+1}\end{align*}}$
数列{an}は、初項0、公差1の等差数列をなすので、
一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{n-1}\end{align*}}$
このとき接線Lnの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-e^{-\left(n-1\right)}=-e^{-\left(n-1\right)}\left\{x-\left(n-1\right)\right\}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=-e^{1-n}\left(x-n\right)}\end{align*}}$
(4)
(e-x)”=e-x＞0なので、Cは下に凸な曲線である。
よって、接線LnはCの下側にある。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_n&=\sf \int_{a_n}^{a_{n+1}}\bigg\{e^{-x}+e^{1-n}\left(x-n\right)\bigg\}dx \\ &=\sf \bigg[-e^{-x}+\frac{e^{1-n}}{2}\left(x-n\right)^2\bigg]_{n-1}^n\\ &=\sf \underline{\left(\frac{1}{2}e-1\right)e^{-n}}\end{align*}}$
数列{Sn}は公比e-1の等比数列をなし、0＜e-1＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{\left(\frac{1}{2}e-1\right)e^{-1}}{1-e^{-1}}=\underline{\frac{e-2}{2\left(e-1\right)}}\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_n&=\sf \pi\int_{a_n}^{a_{n+1}}\bigg\{e^{-2x}-e^{2(1-n)}\left(x-n\right)^2\bigg\}dx \\ &=\sf \pi\bigg[-\frac{e^{-x}}{2}-\frac{e^{2(1-n)}}{3}\left(x-n\right)^3\bigg]_{n-1}^n\\ &=\sf \underline{\left(\frac{1}{6}e^2-\frac{1}{2}\right)e^{-2n}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/09(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2018(全学)
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