第2問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
円C：x2+y2-4x+2y-20=0の中心の座標は ア 、半径は イ である。
点A(-5，0)から円Cに2本の接線を引き、2つの接点をy座標が小さい方か
ら順にP、Qとする。このとき、直線APの傾きは ウ 、直線AQの傾きは
エ である。また、点P、Qの座標は、それぞれ オ 、 カ である。
∠PAQの大きさは キ であり、三角形PAQの面積は ク である。
点P、Qを通り、半径が$\small\sf{\begin{align*} \sf 5\sqrt5\end{align*}}$ である2つの円の中心の座標は、y座標が小さい
方から順に ケ と コ である。
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【解答】
ア (2，-1) イ 5 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{4}{3}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ オ (-2，-4)
カ (-1，3) キ 90° ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{25}{2}\end{align*}}$ ケ (9，-2) コ (-12，1)
【解説】
(ア)(イ)
C：(x-2)2+(y+1)2=52
(ウ)(エ)
点Aを通る直線をL：y=m(x+5)とおく。
LがCと接するとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|2m+1+5m|}{\sqrt{m^2+1}}=5\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\underline{-\frac{4}{3},\frac{3}{4}}\end{align*}}$
(オ)
直線APの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{4}{3}\left(x+5\right)\end{align*}}$
であり、Cの方程式と連立させて解くと、
P(x，y)=(-2，-4)
(カ)
直線AQの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{4}\left(x+5\right)\end{align*}}$
であり、Cの方程式と連立させて解くと、
Q(x，y)=(-1，3)
(キ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}=-1\end{align*}}$
なので、2直線AP、AQは直交する。
(ク)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=AQ=\sqrt{3^2+4^2}=5\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PAQ=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5=\underline{\frac{25}{2}}\end{align*}}$
(ケ)(コ)
円Cの中心をB(2，-1)とおくと、直線ABの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{7}\left(x+5\right)\end{align*}}$
であり、これは線分PQを垂直に二等分する。
よって、2点P，Qを通る円の中心は直線AB上にあるため
実数tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(t,-\frac{1}{7}\left(t+5\right)\right)\end{align*}}$
と表すことができ、この円の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-t\right)^2+\left\{y+\frac{1}{7}\left(t+5\right)\right\}^2=\left(5\sqrt5\right)^2\end{align*}}$
これが点Qを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-1-t\right)^2+\left\{3+\frac{1}{7}\left(t+5\right)\right\}^2=\left(5\sqrt5\right)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ t=-12,9\end{align*}}$
よって、求める中心の座標は
(9，-2)、 (-12，1)
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/07(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2018(全学)
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