第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号の
ついた の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
(1) 平面上の2つのベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\left(\sqrt3,1\right)\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\left(1,-\sqrt3\right)\end{align*}}$ に関して、内積の
値は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ = ア である。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおく。実数s，tがs+t=3を
満たしながら動くとき、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$|2をsのみの式で表すと|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$|2= イ である。
したがって、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf p}\end{align*}}$|の最小値は ウ であり、そのときのsの値は エ
である。
(2)
関数sinx+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ cosxをrsin(x+$\small\sf{\alpha}$ ) （r＞0，0≦$\small\sf{\alpha}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ ）の形に変形すると、
r= オ 、$\small\sf{\alpha}$ = カ となる。方程式sinx+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ cosx=2の0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の
範囲にある解はx= キ である。
(3)
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3x^2-3x+19}{x^3+ax^2-3x-18}=\frac{1}{x-2}+\frac{bx-5}{\left(x+c\right)^2}\end{align*}}$ がxについての恒等式となるように定数
a，b，cを定めると、a= ク 、b= ケ 、c= コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 0 イ 8s2-24s+36 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ オ 2
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ ク 4 ケ 2 コ 3
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\sqrt3-\sqrt3=\underline{0}\end{align*}}$
(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|^2=|\overrightarrow{\sf b}|^2=1^2+\left(\sqrt3\right)^2=4\end{align*}}$
これと(ア)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf p}|^2&=\sf \left|s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\right|^2\\ &=\sf t^2|\overrightarrow{\sf a}|^2+2st\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+t^2|\overrightarrow{\sf b}|^2\\ &=\sf 4s^2+0+4\left(3-s\right)^2\\ &=\sf \underline{8s^2-24s+36} \end{align*}}$
(ウ)(エ)
(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf p}|&=\sf \sqrt{8s^2-24s+36} \\ &=\sf \sqrt{8\left(s-\frac{3}{2}\right)^2+18}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf p}|_{min}=\sqrt{18}=\underline{3\sqrt2}\ \ \ \ \ \left(s=\underline{\frac{3}{2}}\right)\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin x+\sqrt3\cos x &=\sf 2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right) \\ &=\sf 2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\sf \underline{2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\end{align*}}$
(カ)
(オ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x<\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{3}\lt x+\frac{\pi}{3}<\frac{5}{6}\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\frac{\pi}{6}}\end{align*}}$
(ク)～(コ)
分母を払うと
(3x2-3x+19)(x-2)(x+c)2
=(x3+ax2-3x-18){(x+c)2+(bx-5)(x-2)} ･･････(#)
(#)にx=0を代入
-38c2=-18(c2+10) ⇔ c2=9
(#)にx=2を代入
0=(4a-16)(c+2)2 ⇔ a=4 （∵ c2=9)
このとき
x3+4x2-3x-18=(x-2)(x+3)2
と因数分解できるので、
(#) ⇔ (3x2-3x+19)(x-2)(x+c)2
=(x-2)(x+3)2{(x+c)2+(bx-5)(x-2)} ･･････(#)’
これにx=-3を代入すると、
-275(-3+c)2=0 ⇔ c=3
このとき
(#)’ ⇔ (3x2-3x+19)(x-2)(x+3)2
=(x-2)(x+3)2{(x+3)2+(bx-5)(x-2)}
となり、両辺を(x-2)(x+3)2で割ると
3x2-3x+19=(x+3)2+(bx-5)(x-2)
これにx=1を代入すると
19=16-(b-5) ⇔ b=2
以上より、a=4， b=2， c=3
逆にこのとき、任意の実数xに対して(#)は成り立つ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/02/06(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2018(全学)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
<<
2018関西学院大 理系（全学日程） 数学２ |
ホーム |
復活！？>>
- トラックバック URL
- http://aozemi.blog.fc2.com/tb.php/2715-c1e55f71
- この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
