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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016福島県立医科大 数学3



第3問

  命題P 「a (0≦a≦2$\small\sf{\pi}$ )を定数としたとき、方程式x=sin(x+a)はただ
  1 つの実数解をもつ」が真であるとき、方程式x=sin(x+a)の解xをf(a)
  で表わす。以下の問いに答えよ。

 (1) 命題Pが真であることを示せ。

 (2) n=0,1,2について、f(n$\small\sf{\pi}$ )の値を求めよ。

 (3) 0<x<2$\small\sf{\pi}$ のとき、cos(x+f(x))<1であることを示せ。

 (4) 次の各問いに答えよ。ただし、関数f(x)は0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ で連続、
    0<x<2$\small\sf{\pi}$ で微分可能であると仮定してよい。
   (ⅰ) 関数$\small\sf{\theta}$ (x)=x+f(x)は0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ において増加することを示せ。
   (ⅱ) 関数y=f(x) (0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ )の増減、グラフの凹凸を調べ、最大値
      と最小値を求めよ。
   (ⅲ) 曲線y=f(x) (0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ )とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

 (5) 導関数の定義と $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\end{align*}}$ を利用することにより、関数f(x)が
    0<x<2$\small\sf{\pi}$ において微分可能であることを示せ。ただし、f(x)は
    0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ で連続であると仮定してよい。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/10(水) 01:09:00|
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