第２問
b （b＞1）を実数とする。A(1，0)、B(0，b)を2つの頂点とする正方形
ABCDがxy座標平面上にあり、点E(-1，0)と点Cを結んだ直線とy軸の
交点をF、また、直線CEと直線ABの交点をGとする。ただし、正方形の
頂点はA→B→C→Dの順に時計回りに並んでいるものとする。
以下の問いに答えよ。
(１) 点Cと点Dの座標をそれぞれbで表わせ。
(２) 点Gの座標をbで表わせ。
(３) △DFGの外接円の中心の座標をbで表わせ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
右図のように点H、I、Jをとると、
△OAB≡△HBC≡△ICD≡△JDA
より、
OA=HB=IC=JD=1
OB=HC=ID=JA=b
なので、点C、Dの座標は
C(b，b+1)、 D(b+1，1)
(２)
2直線CE、ABの式はそれぞれ
y=x+1、 y=-bx+b
なので、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{G\left(\frac{b-1}{b+1},\frac{2b}{b+1}\right)}\end{align*}}$
(３)
2点D(b+1，1)、F(0，1)を結ぶ線分の垂直二等分線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{b+1}{2}\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
また、FGの中点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{0+\frac{b-1}{b+1}}{2},\frac{1+\frac{2b}{b+1}}{2}\right)=\left(\frac{b-1}{2\left(b+1\right)},\frac{3b+1}{2\left(b+1\right)}\right)\end{align*}}$
なので、線分FGの垂直二等分線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{3b+1}{2\left(b+1\right)}=-\left(x-\frac{b-1}{2\left(b+1\right)}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+\frac{2b}{b+1}\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
△DFGの外心は、2直線(ⅰ)、(ⅱ)の交点なので、これら2式を連立
させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(\frac{b+1}{2},-\frac{\left(b-1\right)^2}{2\left(b+1\right)}\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/10(水) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
