第１問
次の各問いについて答えだけを書け。
(４) nを自然数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{i}\end{align*}}$ ≦j≦nを満たす自然数の組(i，j)の個数を
nで表せ。
(５) 複素数平面上で、3点A(4z)、B(3z+2)、C(z3)を頂点とする
△ABCが正三角形となるような複素数zをすべて求めよ。
(６) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\cos x+\int_0^{\pi}\sin\left(x-t\right)f\left(t\right)dt\end{align*}}$ を満たす関数f(x)を求めよ。
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【解答】
(４)
1≦j≦nを満たすあるjに対して、1≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{i}\end{align*}}$ ≦jより、1≦i≦j2となり、
これを満たすiはj2個ある。
よって、題意を満たす組(i，j)の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{j=1}^nj^2=\underline{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}\end{align*}}$
(５)
AB=ACかつ∠BAC=60°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z^3-4z}{\left(3z+2\right)-4z}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{z\left(z-2\right)\left(z+2\right)}{-z+2}=\frac{1}{2}\left(1\pm\sqrt3i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z^2+2z=-\frac{1}{2}\left(1\pm\sqrt3i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z+1\right)^2=\frac{1}{2}\left(1\mp\sqrt3i\right)\ \ \cdots\cdots\cdots\cdots (*)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z+1=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \ \left(r>0\ ,\ 0\leqq\theta<2\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
両辺の絶対値および偏角を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=1\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\pm\frac{\pi}{6}+n\pi\end{align*}}$ （nは整数）
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、題意を満たすzは次のz1～z4の4つである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_1+1=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ z_1=\underline{-1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_2+1=\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ z_2=\underline{-1-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_3+1=\cos\frac{7}{6}\pi+i\sin\frac{7}{6}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ z_3=\underline{-1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_4+1=\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ z_4=\underline{-1+\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}}\end{align*}}$
(６)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)&=\sf \cos x+\int_0^{\pi}\sin\left(x-t\right)f\left(t\right)dt \\ &=\sf \cos x+\int_0^{\pi}\left(\sin x\cos t-\cos x\sin t\right)f\left(t\right)dt\\ &=\sf \left(\int_0^{\pi}\cos t\ f\left(t\right)dt\right)\sin x+\left(1-\int_0^{\pi}\sin t\ f\left(t\right)dt\right)\cos x\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\int_0^{\pi}\cos t\ f\left(t\right)dt\ \ ,\ \ b=1-\int_0^{\pi}\sin t\ f\left(t\right)dt\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a&=\sf \int_0^{\pi}\cos t\left(a\sin t+b\cos t\right)dt \\ &=\sf a\int_0^{\pi}\frac{\sin2t}{2}dt+b\int_0^{\pi}\frac{1+\cos2t}{2}dt\\ &=\sf \frac{a}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos2t\right]_0^{\pi}+\frac{b}{2}\left[t+\frac{1}{2}\sin2t\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \frac{\pi b}{2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b&=\sf 1- \int_0^{\pi}\sin t\left(a\sin t+b\cos t\right)dt \\ &=\sf 1- a\int_0^{\pi}\frac{1-\cos2t}{2}dt-b\int_0^{\pi}\frac{\sin2t}{2}dt\\ &=\sf 1-\frac{a}{2}\left[t-\frac{1}{2}\sin2t\right]_0^{\pi}-\frac{b}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos2t\right]_0^{\pi}\\ &=\sf 1-\frac{\pi a}{2} \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{2\pi}{\pi^2+4}\ \ ,\ \ b=\frac{4}{\pi^2+4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\underline{\frac{2}{\pi^2+4}\left(\pi\sin x+2\cos x\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/10(水) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2016
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