第１問
次の各問いについて答えだけを書け。
(１) 空間の点A(1，-3，-2)、B(-2，3，1)について、AP=2BPを満たす
点Pの全体はどのような図形になるか。
(２) 不等式log2(log4x)+log4(log2x)＜2を解け。
(３) 5100を43で割ったときの余りを求めよ。
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【解答】
(１)
P(x，y，z)とおくと、AP=2BPより
(x-1)2+(y+3)2+(z+2)2=4{(x+2)2+(y-3)2+(z-1)2}
⇔ x2+y2+z2+6x-10y-4z+14=0
⇔ (x+3)2+(y-5)2+(z-2)2=24
となるので、点Pは、中心(-3，5，2)、半径2$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ の球面上を動く。
(２)
真数条件は
log2x＞0 かつ log4x＞0 かつ x＞0
より、1＜xである。
底を2（＞1）にそろえると、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2\left(\frac{\log_2x}{\log_24}\right)+\frac{\log_2\left(\log_2x\right)}{\log_24}<2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2\left(\log_2x\right)-\log_22+\frac{\log_2\left(\log_2x\right)}{2}<2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2\left(\log_2x\right)<2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2x<2^2=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x<2^4=16\end{align*}}$
よって、不等式の解は、1＜x＜16となる。
(３)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 5^{100}&=\sf \left(1+4\right)^{100} \\ &=\sf \sum_{k=0}^{100}\ _{100}C_k4^k \\ &=\sf _{100}C_0+_{100}C_1\cdot 4+_{100}C_2\cdot 4^2+\sum_{k=3}^{100}\ _{100}C_k4^k\\ &=\sf 79601+4^3\sum_{k=3}^{100}\ _{100}C_k4^{k-3}\\ &=\sf 4^3\left(1243+\sum_{k=3}^{100}\ _{100}C_k4^{k-3}\right)+49 \end{align*}}$
となるので、 5100を43で割ったときの余りは49である。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/10(水) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .福島県立医科大 2016
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