第３問
実数$\small\sf{\begin{align*}\sf a\gt \frac{1}{2}\end{align*}}$ に対して、関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}-\frac{a}{\left(x+1\right)^2}\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
により定める。f(1)f(2)≧0が成り立つとき、定積分
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx\end{align*}}$
を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \log\left(1+\frac{1}{x}\right)=\log\frac{x+1}{x}=\log\left(x+1\right)-\log x\end{align*}}$
より、f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(x\right)&=\sf \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{2a}{\left(x+1\right)^3} \\ &=\sf \frac{\left(2a-1\right)x-1}{x\left(x+1\right)^3} \end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a>\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2a-1}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +\infty}f\left(x\right)=\log 1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}f\left(x\right)=+\infty\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)がf(1)f(2)≧0を満たすとき、
(ⅰ) 1≦x≦2の範囲で常に f(x)≧0
(ⅱ) 1≦x≦2の範囲で常に f(x)≦0
の2つの場合が考えられる。
(ⅰ)となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(2\right)=\log\frac{3}{2}-\frac{1}{3}-\frac{a}{9}\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1}{2}<\right)a\leqq 9\log\frac{3}{2}-3\end{align*}}$
のときであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx&=\sf \int_1^2\left\{\log\left(x+1\right)-\log x-\frac{1}{x+1}-\frac{a}{\left(x+1\right)^2}\right\}dx\\ &=\sf \left[\left(x+1\right)\log\left(x-1\right)-\left(x+1\right)-x\log x+x-\log\left|x+1\right|+\frac{a}{x+1}\right]_1^2\\ &=\sf \underline{\log\frac{9}{8}-\frac{a}{6}}\end{align*}}$
(ⅰ)となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(1\right)=\log2-\frac{1}{2}-\frac{a}{4}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\log 2-2\leqq a\end{align*}}$
のときであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^2\left|f\left(x\right)\right|dx&=\sf -\int_1^2\left\{\log\left(x+1\right)-\log x-\frac{1}{x+1}-\frac{a}{\left(x+1\right)^2}\right\}dx\\ &=\sf \underline{-\log\frac{9}{8}+\frac{a}{6}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/08(月) 01:25:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .浜松医科大 2017
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