第１問
以下の問いに答えよ。
(１) |z|≦|z-($\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ +i)|、 |z-z|≦1および|z-2i|≦2を同時にみたす複素数
zに対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ。
(２) (１)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち、実部が最大となる
ものを$\small\sf{\alpha}$ 、実部と虚部の和が最大となるものを$\small\sf{\beta}$ とするとき、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ を求
めよ。
(３) 次の式で定義されるwnの実部をRnとするとき、無限級数 $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}R_n\end{align*}}$ の和を
求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf w_n=\frac{\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}\left(\sqrt3+i\right)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots \right)\end{align*}}$
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【解答】
(１)
z=x+yi （x、y：実数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z\right|\leqq\left|z-\left(\sqrt3+i\right)\right|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|x+yi\right|^2\leqq\left|\left(x-\sqrt3\right)+\left(y-1\right)i\right|^2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2+y^2\leqq\left(x-\sqrt3\right)^2+\left(y-1\right)^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y\leqq -\sqrt3\ x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z-\overline{z}\right|\leqq 1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|\left(x+yi\right)-\left(x-yi\right)\right|\leqq 1 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left|2yi\right|\leqq 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{1}{2}\leqq y\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|z-2i\right|\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(y-2\right)^2\leqq 4\end{align*}}$
これらを同時に満たすzの領域は、下図のようになる。
（境界線上の点も含む）
(２)
下図より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は直線y=-$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ x+2 ・・・・・・①と、円x2+(y-2)2=4の
共有点のうち、実部が正の方なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+\left\{\left(-\sqrt3 x+2\right)-2\right\}^2=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\left(>0\right)\ ,\ y=2-\sqrt3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\underline{1+\left(2-\sqrt3\right)i}\end{align*}}$
また、
x+y=k ⇔ y=-x+k ・・・・・・②
とおき、これが(１)の領域と共有点を持つようにkの値が変化するとき、
①の傾きは$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt3\end{align*}}$ なので、kが最大になる点$\scriptsize\sf{\beta}$ は下図のように、
①と直線y=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の共有点となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}=-\sqrt3 x+2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta=\underline{\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\ }\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_n&=\sf \frac{\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}\left(\sqrt3+i\right)^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}} \\ &=\sf \frac{\alpha\left\{2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right\}^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}\\ &=\sf \frac{\alpha\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)^{n-1}}{2^{n-1}}\\ &=\sf \alpha\left(\frac{i}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R_n=\frac{w_n+\overline{w_n}}{2}=\frac{1}{2}\left\{\alpha\left(\frac{i}{2}\right)^{n-1}+\overline{\alpha}\left(-\frac{i}{2}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\pm\frac{i}{2}\right|^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}R_n&=\sf \frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{i}{2}}+\frac{\overline{\alpha}}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{i}{2}}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left\{\frac{2\alpha}{2-i}+\overline{\left(\frac{2\alpha}{2-i}\right)}\right\}\\ &=\sf Re\left(\frac{2\alpha}{2-i}\right)\\ &=\sf Re\left(\frac{2\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}}{2-i}\right)\\ &=\sf Re\left(\frac{2\left\{1+\left(2-\sqrt3\right)i\right\}\left(2+i\right)}{5}\right)\\ &=\sf \underline{\frac{2}{5}\sqrt3} \end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/08(月) 01:23:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .浜松医科大 2017
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