第３問
3gのおもり1個が片方の皿にのっているてんびんと、無数に用意された
1g、2g、3gのおもりがある。以下の2つのルールに基づいて、てんびん
の皿におもりを1個ずつのせる試行を行う。
1．てんびんがつり合っていないときには、総重量が軽い方の皿に
1g、2g、3gのおもりを無作為に1個選んでのせる。それぞれの
おもりが選ばれる確率は0＜a＜1として$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$ ，$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$ ，1-aである。
2．てんびんがつり合った時点で試行をやめる。
n回目の試行の結果、てんびんがつり合っていない確率をpn、てんびん
がつり合って試行が終了する確率をqnとするとき、以下の各問に答えよ。
(１) p1とp2をそれぞれaを用いて表せ。
(２) pnの一般項をaとnを用いて表せ。
(３) qnの一般項をaとnを用いて表せ。
(４) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\end{align*}}$qnを求めよ。
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【解答】
n回目の試行で乗せるおもりの質量をAnとする。
n回目の試行の後、両方の皿のおもりの質量の差をdnとし、
その確率をPn(dn)で表すことにする。
(１)
d0=3なので、
A1=1のとき、d1=2
A2=1のとき、d1=1
A3=1のとき、d1=0
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_1&=\sf P_1\left(1\right)+P_2\left(2\right) \\ &=\sf \frac{a}{2}+\frac{a}{2}\\ &=\sf \underline{a}\end{align*}}$
さらに
d1=1、A2=1のとき、d2=0
d1=1、A2=2のとき、d2=1
d1=1、A2=3のとき、d2=2
d1=2、A2=1のとき、d2=1
d1=2、A2=2のとき、d2=0
d1=2、A2=3のとき、d2=1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_2&=\sf P_2\left(1\right)+P_2\left(2\right) \\ &=\sf \frac{a}{2}P_1\left(1\right)+\left(1-a\right)P_1\left(1\right)+\left(1-a\right)P_1\left(2\right)+\frac{a}{2}P_1\left(2\right)\\ &=\sf \left(1-\frac{a}{2}\right)\bigg\{P_1\left(1\right)+P_1\left(2\right)\bigg\}\\ &=\sf \left(1-\frac{a}{2}\right)p_1\\ &=\sf \underline{ a\left(1-\frac{a}{2}\right)}\end{align*}}$
(２)
n≧1のときdn=3となることはないので、(１)と同様に考えると、
dn=1、An+1=1のとき、dn+1=0
dn=1、An+1=2のとき、dn+1=1
dn=1、An+1=3のとき、dn+1=2
dn=2、An+1=1のとき、dn+1=1
dn=2、An+1=2のとき、dn+1=0
dn=2、An+1=3のとき、dn+1=1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_{n+1}&=\sf P_{n+1}\left(1\right)+P_{n+1}\left(2\right) \\ &=\sf \frac{a}{2}P_n\left(1\right)+\left(1-a\right)P_n\left(1\right)+\left(1-a\right)P_n\left(2\right)+\frac{a}{2}P_n\left(2\right)\\ &=\sf \left(1-\frac{a}{2}\right)\bigg\{P_n\left(1\right)+P_n\left(2\right)\bigg\}\\ &=\sf \left(1-\frac{a}{2}\right)p_n\end{align*}}$
これより、数列{pn}は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(1-\frac{a}{2}\right)^{n-1}p_1=\underline{a\left(1-\frac{a}{2}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(３)
n=1のとき、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_1=P_1\left(3\right)=\underline{1-a}\end{align*}}$
n≧2のとき、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_n&=\sf P_n\left(0\right) \\ &=\sf \frac{a}{2}P_{n-1}\left(1\right)+\frac{a}{2}P_{n-1}\left(2\right)\\ &=\sf \frac{a}{2}\bigg\{P_{n-1}\left(1\right)+P_{n-1}\left(2\right)\bigg\}\\ &=\sf \frac{a}{2}p_{n-1}\\ &=\sf \underline{\frac{a^2}{2}\left(1-\frac{a}{2}\right)^{n-2}}\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^nkq_k\ \ ,\ \ b=\frac{a^2}{2}\ \ ,\ \ r=1-\frac{a}{2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\left(1-a\right)+2b+3br+4br^2+\cdots +nbr^{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf rS_n=\left(1-a\right)r+2br+3br^2+\cdots +\left(n-1\right)br^{n-2}+nbr^{n-1}\end{align*}}$
これら2式の差を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-r\right)S_n=\left(1-r\right)\left(1-a\right)+b+\underline{b+br+br^2+\cdots br^{n-2}}-nbr^{n-1}\end{align*}}$
下線部は等比数列の和になり、r≠1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=1-a+\frac{b}{1-r}+\frac{b\left(1-r^{n-1}\right)}{\left(1-r\right)^2}-\frac{nbr^{n-1}}{1-r}\end{align*}}$
0＜a＜1より0＜r＜1なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}r^{n-1}=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}nq_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}S_n \\ &=\sf 1-a+\frac{b}{1-r}+\frac{b}{\left(1-r\right)^2} \\ &=\sf 1-a+\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a}{2}}+\frac{\frac{a^2}{2}}{\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\ &=\sf \underline{3}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/14(日) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2017
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