第４問
x＞0に対して、連続関数f(x)は、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=2\log x-\int_1^etf\left(t\right)dt\end{align*}}$
をみたすものとする。また、曲線y=f(x)の接線のうち、原点を通る
ものをLとし接点を(u，v)とする。以下の各問に答えよ。
(１) f(x)を求めよ。
(２) 接点(u，v)を求めよ。
(３) 曲線y=f(x)、直線Lおよびx軸で囲まれる領域を、x軸のまわりに
1回転してできる立体の体積を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\int_1^etf\left(t\right)dt\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=2\log x-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k&=\sf \int_1^et\left(2\log t-k\right)dt \\ &=\sf \bigg[t^2\log t-\frac{k}{2}t^2\bigg]_1^e-\int_1^et^2\cdot\frac{1}{t}dt \\ &=\sf \bigg[t^2\log t-\frac{k}{2}t^2-\frac{1}{2}t^2\bigg]_1^e\\ &=\sf e^2-\frac{k+1}{2}\left(e^2-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ k=1 \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{f\left(x\right)=2\log x-1}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(x\right)=\frac{2}{x}\end{align*}}$
なので、点(u，f(u))における接線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(2\log u-1\right)=\frac{2}{u}\left(x-u\right)\end{align*}}$
これが原点を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(2\log u-1\right)=-\frac{2}{u}\cdot u\ \ \Leftrightarrow\ \ u=e^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=2\log e^{\frac{3}{2}}-1=2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(u,v\right)=\underline{\left(e^{\frac{3}{2}},2\right)}\end{align*}}$
(３)
部分積分法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int \log xdx=x\log x-x+C_1\end{align*}}$ (C1は積分定数)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int \left(\log x\right)^2dx&=\sf x\left(\log x\right)^2 -\int 2x\left(\log x\right)\cdot\frac{1}{x}dx\\ &=\sf x\left(\log x\right)^2-2\int \log xdx\\ &=\sf x\left(\log x\right)^2-2x\log x+2x+C_2\end{align*}}$ (C2は積分定数)
曲線y=f(x)のx切片をpとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(p\right)=2\log p-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=e^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
であり、曲線とLの位置関係は下図のようになるので、回転体の体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \frac{\pi}{3}uv^2-\pi\int_p^u\left(2\log x-1\right)^2dx \\ &=\sf \frac{\pi}{3}uv^2-\pi\int_p^u\left\{2\left(\log x\right)^2+4\log x+1\right\}dx \\ &=\sf \frac{\pi}{3}uv^2-\pi\bigg[4\left\{x\left(\log x\right)^2-2x\log x+2x\right\}-4\left(x\log x-x\right)+x\bigg]_p^u\\ &=\sf \frac{\pi}{3}uv^2-\pi\bigg[4x\left(\log x\right)^2-12x\log x+13x\bigg]_p^u \end{align*}}$
これを頑張って計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\underline{\frac{8}{3}e^{\frac{1}{2}}\left(3-e\right)\pi}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/14(日) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2017
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