第２問
a、b、cを実数とする。3次方程式x3+ax2+bx+c=0の3つの解を
$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、γとする。これらの解は次の4つの条件を満たす。
(ⅰ) γ=$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$
(ⅱ) |$\small\sf{\alpha}$ |=|$\small\sf{\beta}$ |=1
(ⅲ) $\small\sf{\alpha}$ の虚部は正である
(ⅳ) 複素数平面上の点A($\small\sf{\alpha}$ )、B($\small\sf{\beta}$ )、C(γ)は同一直線L上
にある
このとき、次の問いに答えよ。
(１) a、b、cおよび$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。
(２) 点P(z)が直線L上を動くとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{1+4z}{2z}\end{align*}}$ で表される点Q(w1)
の軌跡を複素数平面上に図示せよ。
(２) 動点R(w2) は、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \arg\left(\frac{\beta-w_2}{\alpha-w_2}\right)=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
を満たす。このとき、R(w2)の軌跡を複素数平面上に図示する
とともに、(２)で求めたQ(w1)との距離|w1-w2| のとりうる値の
範囲を求めよ。
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【解答】
(１)
(ⅲ)より$\scriptsize\sf{\alpha}$ は虚数であり、a、b、cは実数なので、$\scriptsize\sf{\beta}$ は$\scriptsize\sf{\alpha}$ の共役複素数
である。よって、2点A、Bは実軸について対称であり、(ⅳ)より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\beta}$
の実部はγと等しい。よって、正の実数yを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=-\frac{1}{2}+yi\ ,\ \beta=-\frac{1}{2}-yi\end{align*}}$
と表すことができ、(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\alpha|^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=1^2\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{\sqrt3}{2}\ \left(>0\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\ \ ,\ \ \beta=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i}\end{align*}}$
これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=x^3+\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ c=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(２)
zはL上にあるので、zの実部は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ z+\overline{z}+1=0\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_1=\frac{1+4z}{2z}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2w_1z-4z=1\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\frac{1}{2\left(w_1-2\right)}\ \ \left(w_1\ne 2\right)\end{align*}}$
なので、これを(ⅰ)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2\left(w_1-2\right)}+\frac{1}{2\left(\overline{w_1}-2\right)}+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(w_1-2\right)+\left(\overline{w_1}-2\right)+2\left(w_1-2\right)\left(\overline{w_1}-2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ w_1\overline{w_1}-\frac{3}{2}w_1-\frac{3}{2}\overline{w_1}+2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(w_1-\frac{3}{2}\right)\left(\overline{w_1}-\frac{3}{2}\right)=\left|w_1-\frac{3}{2}\right|^2=\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|w_1-\frac{3}{2}\right|=\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、w1は点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ （点Dとする）を中心とした
半径$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の円周上を動く。
（ただし、点2を除く）
これを図示したものが、下図の青線である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \arg\left(\frac{\beta-w_2}{\alpha-w_2}\right)=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
より、∠ARB=90°となるので、RはABを直径とする円周上を動く。
（ただし、A、Bを除く）
これを図示したものが、下図の赤線である。
2円は離れており、Qは点2と一致しないので、
CD-CR-DQ≦QR＜CD+CR+DQ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}\leqq |w_1-w_2|<2+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\leqq |w_1-w_2|<\frac{5}{2}+\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2017
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