第３問
Oを原点とする座標平面上に長さ1の線分ABがある。線分ABの
端点Aはx軸上のx≧0の部分を、端点Bはy軸上のy≧0の部分を
動くものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 線分ABがx軸となす角∠AOBが$\small\sf{\theta}$ であるとき、直線ABをL$\small\sf{\theta}$
で表す。直線L$\small\sf{\theta}$ の方程式を求めよ。ただし0≦$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。
(２) tは0＜t≦1を満たす定数とする。直線x=tと直線L$\small\sf{\theta}$ との交点を
P$\small\sf{\theta}$ とする。点P$\small\sf{\theta}$ のy座標が最大となる$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、cos$\small\sf{\alpha}$
をtを用いて表せ。
(３) 点P$\small\sf{\alpha}$ の直交座標(x，y)を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。また$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、
点P$\small\sf{\alpha}$ の極座標を求めよ。
(４) $\small\sf{\alpha}$ が0≦$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、点P$\small\sf{\alpha}$ の描く曲線をCとする。
C上の点P$\small\sf{\alpha}$ における接線がL$\small\sf{\alpha}$ であることを示し、Cの概形を
図示せよ。
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【解答】
(１)
AB=1、∠OAB=$\scriptsize\sf{\theta}$ より
OA=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 、 OB=sin$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、直線L$\scriptsize\sf{\theta}$ の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\left(x-\cos\theta\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=-\left(\tan\theta\right)x+\sin\theta}\end{align*}}$
(２)
(１)より、P$\scriptsize\sf{\theta}$ のy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\left(\tan\theta\right)t+\sin\theta\end{align*}}$
これを$\scriptsize\sf{\theta}$ の関数とみなして、$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{d\theta}=-\frac{t}{\cos^2\theta}+\cos\theta=\frac{\cos^3\theta-t}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
ここで、0＜t≦1、0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ =tとなる$\scriptsize\sf{\theta}$ が
ただ1つ存在し、その値を$\scriptsize\sf{\theta}$ 1とおくと、yの増減は次のようになる。
これより、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\theta}$ 1のときyは最大になるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\theta}$ 1である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^3\alpha=t\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\underline{\sqrt[3]{\sf t}}\end{align*}}$
(３)
(２)より、点P$\scriptsize\sf{\alpha}$ のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=t=\cos^3\alpha\end{align*}}$
P$\scriptsize\sf{\alpha}$ のy座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y&=\sf -\left(\tan\alpha\right)\cos^3\alpha+\sin\alpha \\ &=\sf \left(1-\cos^2\alpha\right)\sin\alpha\\ &=\sf \sin^3\alpha\end{align*}}$
よって、点P$\scriptsize\sf{\alpha}$ の直交座標は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(\cos^3\alpha,\sin^3\alpha\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のときのの直交座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos^3\frac{\pi}{4},\sin^3\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2\sqrt2},\frac{1}{2\sqrt2}\right)\end{align*}}$
なので、これを極座標に直すと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\left(\frac{1}{2},\frac{\pi}{4}\right)}\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{\alpha}\left(x,y\right)=\left(\cos^3\alpha,\sin^3\alpha\right)\ \ \ \left(0\leqq\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\alpha}=-3\sin\alpha\cos^2\alpha\ \ ,\ \ \frac{dy}{d\alpha}=3\sin^2\alpha\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=-\frac{3\sin^2\alpha\cos\alpha}{3\sin\alpha\cos^2\alpha}=-\tan\alpha<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dx}&=\sf \frac{d}{d\alpha}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{d\alpha}{dx}\\ &=\sf -\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\left(-\frac{1}{3\sin\alpha\cos^2\alpha}\right)\\ &=\sf \frac{1}{3\sin\alpha\cos^4\alpha}>0\end{align*}}$
なので、曲線Cは単調に減少し、下に凸な曲線である。
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =0のとき、x=1、y=0であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\alpha\rightarrow\frac{\pi}{2}-0}x=0\ \ ,\ \ \lim_{\alpha\rightarrow\frac{\pi}{2}-0}y=1\end{align*}}$
なので、Cの概形は右図のようになる。
一方、点P$\scriptsize\sf{\alpha}$ におけるCの接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sin^3\alpha=-\left(\tan\alpha\right)\left(x-\cos^3\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y &=-\left(\tan\alpha\right)x+\sin^3\alpha+\sin\alpha\cos^2\alpha\sf \\ &=\sf -\left(\tan\alpha\right)x+\sin\alpha\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\\ &=\sf -\left(\tan\alpha\right)x+\sin\alpha\end{align*}}$
となるので、L$\scriptsize\sf{\alpha}$ と一致する。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2017
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