第３問
a、b、pは自然数であるとする。さらにpは素数であり、ある整数nで
p=an2+bn+6と表されているとする。また2次方程式ax2+bx+6=0は
整数の解を少なくとも1つ持ち、かつ絶対値が1より小さな解は持た
ないとする。このときの自然数の組(a，b，p)をすべて求めよ。
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【解答】
f(x)=ax2+bx+6 とおく。
方程式f(x)=0の整数解をmとおくと、a、b＞0よりm＜0.
また、m≠0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf am^2+bm+6=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{6}{m}=-am-b\end{align*}}$
となり、a、b、mは整数なので、mは6の約数である。
すなわち、m=-1，-2，-3，-6のいずれかである。
一方、他解をcとおくと、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\frac{6}{am}\end{align*}}$
であり、cの絶対値が1以上であることより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |c|=\left|\frac{6}{am}\right|\geqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ |am|\leqq 6\end{align*}}$
これを満たす自然数aと負の整数mの組は、
(a，m)=(1，-1)、(1，-2)、(1，-3)、(1，-6)、
(2，-1)、(2，-2)、(2，-3)、(3，-1)、
(3，-2)、(4，-1)、(5，-1)、(6，-1)
(ⅰ) (a，m)=(1，-1)、(1，-6)のとき
f(x)=x2+bx+6=(x+1)(x+6)
と因数分解できる。
p=(n+1)(n+6)
において、pは素数、nは整数なので、
(n+1，n+6)=(1，p)、(p，1)、(-1，-p)、(-p，-1)
⇔ (n，p)=(0，6)、(-5，-4)、(-2，4)、(-7，-6)
となるが、いずれもpが素数とならないので不適。
(ⅱ) (a，m)=(1，-2)、(1，-3)のとき
f(x)=x2+bx+6=(x+2)(x+3)
と因数分解できる。このときb=5
p=(n+2)(n+3)
において、pは素数、nは整数なので、
(n+2，n+3)=(1，p)、(p，1)、(-1，-p)、(-p，-1)
⇔ (n，p)=(-1，2)、(-2，0)、(-3，0)、(-4，2)
このうち題意を満たすものは
(a，b，p)=(1，5，2)
(ⅲ) (a，m)=(2，-1)、(2，-3)のとき
f(x)=2x2+bx+6=2(x+1)(x+3)
と因数分解できるので
p=2(n+1)(n+3)
(n+1)(n+3)=1となる整数nは存在しないので、不適
(ⅳ) (a，m)=(2，-2)のとき
f(x)=2x2+bx+6=(x+2)(2x+3)
と因数分解できる。このときb=7
p=(n+2)(2n+3)
において、pは素数、nは整数なので、
(n+2，2n+3)=(1，p)、(p，1)、(-1，-p)、(-p，-1)
⇔ (n，p)=(-1，1)、(-1，1)、(-3，3)、(0，-2)
このうち題意を満たすものは
(a，b，p)=(2，7，3)
(ⅴ) (a，m)=(3，-1)、(3，-2)のとき
f(x)=3x2+bx+6=3(x+1)(x+2)
と因数分解できるので
p=3(n+1)(n+2)
(n+1)(n+2)=1となる整数nは存在しないので、不適
(ⅵ) (a，m)=(4，-1)のとき
f(x)=4x2+bx+6=2(x+1)(2x+3)
と因数分解できるので
p=2(n+1)(2n+3)
n=-1のとき、p=2となるので条件に適する。
このとき、
(a，b，p)=(4，10，2)
(ⅶ) (a，m)=(5，-1)のとき
f(x)=5x2+bx+6=(x+1)(5x+6)
と因数分解できる。このときb=7
p=(n+1)(5n+6)
において、pは素数、nは整数なので、
(n+1，5n+6)=(1，p)、(p，1)、(-1，-p)、(-p，-1)
⇔ (n，p)=(0，6)、(-1，0)、(-2，4)、(-1.4，0.4)
となるが、いずれもpが素数とならないので不適。
(ⅷ) (a，m)=(6，-1)のとき
f(x)=6x2+bx+6=6(x+1)2
と因数分解できるので
p=6(n+1)2
これが素数になることはないので不適
(ⅰ)～(ⅷ)より、題意を満たすa、b、pの組は
(a，b，p)=(1，5，2)、(2，7，3)、(4，10，2)
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/06(土) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .和歌山県立医大 2017
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