第２問
Oを原点とする座標空間において、中心が点(1，0，0)で半径が
1の球面をSとし、Sがxy平面と交わってできる円をCとする。
点PはこのC上を動くものとし、x軸に関してPと対称な点をP’と
する。三角形OPP’の重心Gを通りx軸と平行な直線がSと交わる
2点のうち、z座標が正のものをQとする。四面体OPP’Qの体積
Vの最大値とそのときのPの座標を求めよ。
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【解答】
円Cの方程式は
(x-1)2+y2=1
なので、PおよびP’のx座標をt （0＜t＜2）とおくと、y座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(t-1\right)^2+y^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\sqrt{2t-t^2}\end{align*}}$
よって、△OPP’の重心Gの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf G\left(\frac{0+t+t}{3},\frac{0+\sqrt{2t-t^2}-\sqrt{2t-t^2}}{3},0\right)=\left(\frac{2t}{3},0,0\right)\end{align*}}$
Cの中心をA(1，0，0) とおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AG=\left|1-\frac{2t}{3}\right|\end{align*}}$
∠AGQ=90°、AQ=1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf QG=\sqrt{1^2-\left|1-\frac{2t}{3}\right|^2}=\frac{2}{3}\sqrt{3t-t^2}\end{align*}}$
以上より、四面体OPP’Qの体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \triangle OPP'\cdot QG\cdot \frac{1}{3} \\ &=\sf \left(\frac{1}{2}t\cdot 2\sqrt{2t-t^2}\right)\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3t-t^2}\cdot\frac{1}{3}\\ &=\sf \frac{2}{9}\sqrt{t^6-5t^5+6t^4}\end{align*}}$
ここで関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(t\right)=t^6-5t^5+6t^4\ \ \ \ \left(0\lt t\lt 2\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(t\right)=6t^5-25t^4+24t^3=t^3\left(3t-8\right)\left(2t-3\right)\end{align*}}$
となるので、f(t)の増減は次のようになる。
よって、Vの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_{max}&=\sf \frac{2}{9}\sqrt{f\left(\frac{3}{2}\right)} \\ &=\sf \frac{2}{9}\sqrt{\frac{243}{64}}\\ &=\sf \underline{\frac{\sqrt3}{4}} \end{align*}}$
このとき、点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\left(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt3}{2},0\right)}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/06(土) 02:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .和歌山県立医大 2017
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