第2問
座標平面上に点O(0,0)、A(4,0)、B(1,1)、C(k,k)をとる。ただし
kは正の実数である。また∠OABを$\small\sf{\theta}$ と表す。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\cos\theta\ ,\ \cos 2\theta}$ を求めよ。
(2) ∠OCA=2$\small\sf{\theta}$ となるようにkを定めよ。
(3) kを(2)で求めたものとする。3点A、B、Cを通る円とx軸との交点で、
A以外のものをDと表す。このときcos∠DCAを求めよ。また△OCD
と△ACDの面積比を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=4\ ,\ OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\ ,\ AB=\sqrt{\left(4-1\right)^2+1^2}=\sqrt{10}\end{align*}}$
なので、△OABに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{4^2+\left(\sqrt{10}\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2}{2\cdot 4\cdot\sqrt{10}}=\underline{\frac{3}{\sqrt{10}}}\end{align*}}$
倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos2\theta=2\cos^2\theta-1=2\cdot\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2-1=\underline{\frac{4}{5}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OC=\sqrt{k^2+k^2}=\sqrt{2k^2}\ \ ,\ \ AC=\sqrt{\left(4-k\right)^2+k^2}=\sqrt{2\left(k^2-4k+8\right)}\end{align*}}$
なので、△OACに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4^2=2k^2+2\left(k^2-4k+8\right)-2\cdot\sqrt{2k^2}\cdot\sqrt{2\left(k^2-4k+8\right)}\cdot\frac{4}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\sqrt{k^4-4k^3+8k^2}=5\left(k^2-2k\right)\end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16\left(k^4-4k^3+8k^2\right)=25\left(k^4-4k^3+4k^2\right)\ \ ,\ \ k^2-2k\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9k^4-36k^3-28k^2=k^2\left(3k-14\right)\left(3k+2\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=\underline{\frac{14}{3}}\ \ \ \ \left(\because\ k\geqq 2\right)\end{align*}}$
(3)
孤BDに対する円周角を考えると、
∠BCD=∠BAD=$\scriptsize\sf{\theta}$
∠DCA=2$\scriptsize\sf{\theta}$ -$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle DCA=\underline{\frac{3}{\sqrt{10}}}\end{align*}}$
また、CDは∠OCAの二等分線になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle OCD :\triangle ACD&=\sf OD:AD \\ &=\sf OC:AC \\ &=\sf \sqrt{2\cdot\left(\frac{14}{3}\right)^2}:\sqrt{2\bigg\{\left(\frac{14}{3}\right)^2-4\cdot\frac{14}{3}+8\bigg\}}\\ &=\sf \underline{7:5}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/10/15(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2017(医)
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