第１問
nを自然数とする。1から3n+1までの自然数を並べかえて、順に
a1、a2、・・・、an+1、b1、b2、・・・、bn、c1、c2、・・・、cn
とおく。また、次の条件(C1)、(C2)が成立しているとする。
(C1) 3n個の値
|a1-a2|、|a2-a3|、・・・、|an-an+1|、
|a1-b1|、|a2-b2|、・・・、|an-bn|、
|a1-c1|、|a2-c2|、・・・、|an-cn|
は、すべて互いに異なる。
(C2) 1以上n以下のすべての自然数kに対し
|ak-bk|＞|ak-ck|＞|ak-ak+1|
が成り立つ。
このとき以下の各問いに答えよ。
(１) n=1かつa1=1のとき、a2、b1、c1を求めよ。
(２) n=2 かつa1=7のとき、a2、a3、b1、b2、c1、c2を求めよ。
(３) n≧2 かつa1=1のとき、a3を求めよ。
(４) n=2017かつa1=1のとき、a29、b29、c29を求めよ。
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【解答】
(１)
n=1かつa1=1のとき、(C2)より
|a1-b1|＞|a1-c1|＞|a1-a2|
⇔ |1-b1|＞|1-c1|＞|1-a2|
⇔ b1-1＞c1-1＞a2-1
⇔ b1＞c1＞a2
なので、
(a2，b1，c1)=(2，4，3)
(２)
n=2のとき、(C2)より
|a1-b1|＞|a1-c1|＞|a1-a2|
|a2-b2|＞|a2-c2|＞|a2-a3|
a1=7より、1≦a2≦6 、 1≦b2≦6なので、|a2-b2|≦5.
よって、|a1-b1|=6 ⇔ b1=1
このとき、2≦a2≦6 、 2≦b2≦6なので、|a2-b2|≦4.
よって、|a1-c1|=5 ⇔ c1=2
このとき、3≦a2≦6 、 3≦b2≦6なので、|a2-b2|≦3.
よって、|a1-a2|=4 ⇔ a2=3
このとき、|a2-b2|＞|a2-c2|＞|a2-a3|なので、
|a2-b2|=3、 |a2-c2|=2、 |a2-a3|=1
⇔ b2=6、 c2=5、 a3=4
以上より、
(a2，a3，b1，b2，c1，c2)=(3，4，1，6，2，5)
(３)
n≧2のとき、(C2)より
|a1-b1|＞|a1-c1|＞|a1-a2|
|a2-b2|＞|a2-c2|＞|a2-a3|
・
・
・
|an-bn|＞|an-cn|＞|an-an+1|
a1=1より、k=2，3，･･･，nに対して
2≦ak≦3n+1 、 2≦bk≦3n+1なので、|ak-bk|≦3n-1.
よって、|a1-b1|=3n ⇔ b1=3n+1
このとき、k=2，3，･･･，nに対して
2≦ak≦3n 、 2≦bk≦3nなので、|ak-bk|≦3n-2.
よって、|a1-c1|=3n-1 ⇔ c1=3n
このとき、k=2，3，･･･，nに対して
2≦ak≦3n-1 、 2≦bk≦3n-1なので、|ak-bk|≦3n-3.
よって、|a1-a2|=3n-2 ⇔ a2=3n-1
このとき、k=3，4，･･･，nに対して
2≦ak≦3n-2 、 2≦bk≦3n-2なので、|ak-bk|≦3n-4.
よって、|a2-b2|=3n-3 ⇔ b2=2
このとき、k=3，4，･･･，nに対して
3≦ak≦3n-2、 3≦bk≦3n-2なので、|ak-bk|≦3n-5.
よって、|a2-c2|=3n-4 ⇔ c2=3
このとき、k=3，4，･･･，nに対して
4≦ak≦3n-2、 4≦bk≦3n-2なので、|ak-bk|≦3n-6.
よって、|a2-a3|=3n-5 ⇔ a3=4
(４)
n=2017かつa1=1のとき、(３)と同様に考えると、
a2=6050、 a3=4、 b1=6052、 b2=2、 c1=6051、 c2=3
ここで、
Ak=ak-2-3 （k=3，4，･･･，2018）
Bk=bk-2-3 （k=3，4，･･･，2017）
Ck=ck-2-3 （k=3，4，･･･，2017）
とおくと、これら6046個の数は1から6046までの自然数を並べかえた
ものであり、次の条件(D1)、(D2)を満たすことになる。
(D1) 2045個の値
|A1-A2|、|A2-A3|、・・・、|A2015-A2016|、
|A1-B1|、|A2-B2|、・・・、|A2015-B2015|、
|A1-C1|、|A2-C2|、・・・、|A2015-C2015|
は、すべて互いに異なる。
(D2) 1以上2015以下のすべての自然数kに対し
|Ak-Bk|＞|Ak-Ck|＞|Ak-Ak+1|
が成り立つ。
A1=1なので、(３)と同様に考えると、
A2=6046、 A3=4、 B1=6048、 B2=2、 C1=6047、 C2=3
よって、
a4=6049、 a5=7、 b3=6051、 b4=5、 c3=6050、 c4=6
この考え方を繰り返し用いると、k=1，2，･･･，1009に対して
a2k-1=3k-2
b2k-1=-3k+6055
c2k-1=-3k+6054
となるので、
(a29，b29，c29)=(43，6010，6009)
なんとも答案が書きにくいですね＾＾；；
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/16(金) 01:19:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京医科歯科大 2017
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