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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017関西大 理系(2月5日) 数学2



第2問

  平面上にOA=2、OB=2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$⁢ 、∠AOB=90°の△OABがあり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とする。また、点Mを辺ABの中点とし、点Pを直線OA上に、点Q
  を直線OB上に、∠PMQ=90°を満たすようにとる。次の    をうめよ。
  ただし、 ⑥  ⑦  は数値でうめよ。

 (1) p、qを実数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ =p$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ はp、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b }\end{align*}}$ を用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}\end{align*}}$ =
     ①  と表される。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ =q$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ はq、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MQ}\end{align*}}$ = ②  と表される。

 (2) (1)のとき、pとqには関係式 ③  =2 が成り立つ。また、0≦p≦1の
    とき、qのとり得る値の範囲は ④  である。

 (3) 点Pを辺OAの中点とする。直線OMに関して、点Pと対称な点をP’と
    すると、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP\ '}\end{align*}}$ = ⑤  と表される。また、線分OM
    上に点Rをとる。線分ARと線分PRの長さの和が最小となるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$=
     ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$ である。このとき、△PQR の面積は ⑦  である。




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