第1問
eを自然対数の底とし、関数f(x)=(x-1)e-xがある。また、y=f(x)のグラフを
Cとし、C上の点でy座標が最大となる点をA、変曲点をBとする。次の問いに
答えよ。
(1) f(x)の導関数f’(x)とf’(x)の導関数f”(x)を求め、f(x)の増減と凹凸を
表に示せ。
(2) 2点A、Bを通る直線の方程式を求めよ。
(3) 点BにおけるCの接線の方程式を求めよ。
(4) (3)の接線とC、および直線x=2で囲まれる図形の面積を求めよ。
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【解説】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{-x}\end{align*}}$
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(x\right)=\sf e^{-x}-\left(x-1\right)e^{-x} =\sf \underline{\left(2-x\right)e^{-x}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''\left(x\right)&=\sf -e^{-x}+\left(x-2\right)e^{-x} &=\sf \underline{\left(x-3\right)e^{-x}}\end{align*}}$
これらよりf(x)の増減・凹凸は次のようになる。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(2,e^{-2}\right)\ \ ,\ \ B\left(3,2e^{-3}\right)\end{align*}}$
なので、直線ABの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-e^{-2}=\frac{2e^{-3}-e^{-2}}{3-2}\left(x-2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=\left(2e^{-3}-e^{-2}\right)x-4e^{-3}+3e^{-2}}\end{align*}}$
(3)
f’(3)=-e-3なので、Bにおける接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-2e^{-3}=-e^{-3}\left(x-3\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=-e^{-3}x+5e^{-3}}\end{align*}}$
(4)
x＜3の範囲ではf”(x)＜0より、Cは上に凸なので、Bにおける接線は
Cより上側にある。
よって、求める面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_2^3\bigg\{\left(-e^{-3}x+5e^{-3}\right)-\left(x-1\right)e^{-x}\bigg\}dx \\ &=\sf \left[-\frac{e^{-3}x^2}{2}+5e^{-3}x+\left(x-1\right)e^{-x}\right]_2^3-\int_2^3e^{-x}dx\\ &=\sf \left[-\frac{e^{-3}x^2}{2}+5e^{-3}x+xe^{-x}\right]_2^3\\ &=\sf \underline{\frac{11}{2}e^{-3}-2e^{-2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/01(土) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2017（2/5）
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