第3問
nを2以上の自然数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\end{align*}}$
とする。ただし、i=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{-1}\end{align*}}$ は虚数単位である。次の問いに答えよ。
(1) znとw =(z-1)(zn-1+zn-2+・・・+z+1) のそれぞれの値を求めよ。
(2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{a_n}\end{align*}}$ を満たす実数anを$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\pi}{n}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2a_n\end{align*}}$ を求めよ。
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【解説】
(1)
ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_n&=\sf \left(\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\right)^n \\ &=\sf \cos\pi+i\sin\pi\\ &=\sf \underline{-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w&=\sf \left(z-1\right)\left(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots +z+1\right) \\ &=\sf z^n-1\\ &=\sf \underline{-2}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}=\frac{w}{z-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}z^k=\frac{-2}{z-1}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}\left(\cos\frac{\pi}{n}+i\sin\frac{\pi}{n}\right)^k=\frac{-2}{\cos\frac{\pi}{n}-1+i\sin\frac{\pi}{n}}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}\left(\cos\frac{k\pi}{n}+i\sin\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{-2\left(\cos\frac{\pi}{n}-1-i\sin\frac{\pi}{n}\right)}{\left(\cos\frac{\pi}{n}-1\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{n}}-1\end{align*}}$
両辺の虚部を比較すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}&=\sf \frac{2\sin\frac{\pi}{n}}{\left(\cos\frac{\pi}{n}-1\right)^2+\sin^2\frac{\pi}{n}} \\ &=\sf \frac{2\sin\frac{\pi}{n}}{\sin^2\frac{\pi}{n}+\cos^2\frac{\pi}{n}+1-2\cos\frac{\pi}{n}}\\ &=\sf \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1-\cos\frac{\pi}{n}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a_n=1-\cos\frac{\pi}{n}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{\pi}{n}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2a_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right) \\ &=\sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\frac{\pi}{\theta}\right)^2\left(1-\cos\theta\right)\\ &=\sf \pi^2\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2\theta}{\theta^2\left(1+\cos\theta\right)}\\ &=\sf \pi^2\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin^2\theta}{2\theta^2}\\ &=\sf \underline{\frac{\pi^2}{2}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/01(土) 02:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2017（2/2）
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