第2問
次の をうめよ。
xy平面のx軸上に点(a0，0)がある。ただし、0 ＜a0＜1とする。原点O(0，0)
と(a0，0)を2：1に内分する点と点(1，0)との中点をP1(a1，0)とする。次に
原点とP1(a1，0)を2：1に内分する点と(1，0)との中点をP2(a2，0)とする。
さらに同様の操作を続けて点Pn-1(an-1，0)を定める。
a1をa0で表すと ① である。同様に、原点と点Pn-1(an-1，0)を2：1に
内分する点と点(1，0)との中点をPn(an，0)とする。このときanとan-1は、
次の漸化式
an= ② an-1+ ③
を満たす。ここで ② 、 ③ はnに無関係な数である。この漸化式より
anをa1とnで表すと、an= ④ である。
a0= ⑤ のときは、Pnはnに無関係な定点である。a0≠ ⑤ のとき、
nを大きくしていくと、Pnは点Q( ⑥ ，0)に限りなく近く。また
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}P_nQ=\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるのはa0= ⑦ のときである。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}a_0+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ ⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12} \end{align*}}$
【解説】
①
O(0，0)と(a0，0)を2：1に内分する点をR1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_1\left(\frac{2}{3}a_0,0\right)\end{align*}}$
R1と(1，0)の中点P1のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{\frac{2}{3}a_0+1}{2}=\underline{\frac{1}{3}a_0+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
②③
O(0，0)とPn-1(an-1，0)を2：1に内分する点をRnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_n\left(\frac{2}{3}a_{n-1},0\right)\end{align*}}$
Rnと(1，0)の中点Pnのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{\frac{2}{3}a_{n-1}+1}{2}=\underline{\frac{1}{3}a_{n-1}+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
④
上の漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\frac{3}{4}=\frac{1}{3}\left(a_{n-1}-\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n-\frac{3}{4}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\frac{3}{4}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{3}{4}\right)}\end{align*}}$
⑤
anが一定値をとるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1-\frac{3}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}a_0+\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a_0=\underline{\frac{3}{4}}\end{align*}}$
⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0\ \ \ \ \ \left(\because\ 0<\frac{1}{3}<1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{3}{4}\right)\right\}=\underline{\frac{3}{4}}\end{align*}}$
⑦
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}P_nQ&=\sf \sum_{n=1}^{\infty}\left|\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(a_1-\frac{3}{4}\right)\right| \\ &=\sf \left|a_1-\frac{3}{4}\right|\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\\ &=\sf \frac{3}{2}\left|\left(\frac{1}{3}a_0+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\right|\\ &=\sf \frac{1}{2}\left|a_0-\frac{3}{4}\right|\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left|a_0-\frac{3}{4}\right|=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_0=\frac{3}{4}\pm\frac{2}{3}\end{align*}}$
であり、0 ＜a0＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_0=\underline{\frac{1}{12}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/01(土) 02:02:00|
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