第3問
Oを原点とする座標空間において、8点A1(1，1，1)、A2(1，-1，1)、
A3(-1，-1，1)、A4(-1，1，1)、B1(1，1，-1)、B2(1，-1，-1)、
B3(-1，-1，-1)、B4(-1，1，-1)を頂点とする立方体A1A2A3A4‐
B1B2B3B4がある．また、正の定数a、b、cに対し、原点を通りベクトル
(a，b，c)に垂直な平面をHとする。
(1) 点A1、B1を通る直線と平面Hとの共有点のz座標は ニ であり、
点 A4、B4を通る直線と平面Hとの共有点のz座標は ヌ である。
これより、4つの線分A1B1、A2B2、A3B3、A4B4の全てと平面Hが
共有点を持つためのa、b、cが満たすべき必要十分条件は ネ
かつ ノ である。a、b、cが ネ かつ ノ を満たすとき、立方
体A1A2A3A4‐B1B2B3B4の平面Hによる切り口の面積は
ハ $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$
である。 （注： ネ 、 ノ には、a、b、cの関係式を入れよ。）
(2) 線分A1B1と平面Hが共有点を持たず、線分A4B4と平面Hが共有点
を持つためのa、b、cが満たすべき必要十分条件は ヒ かつ フ
である。a、b、cが ヒ かつ フ を満たすとき、線分A3A4と平面
H、線分A2A3と平面Hはそれぞれ共有点を持つ。これらをそれぞれ
点P、Qとすると、点Pのy座標は ヘ であり、点Qのx座標は ホ
である。点A3，B3を通る直線と平面Hとの共有点をRとすると、△PQR
の面積は マ $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$ である。よって、立方体A1A2A3A4‐B1
B2B3B4の平面Hによる切り口の面積は ミ $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$ となる。
（注： ヒ 、 フ には、a、b、cの関係式を入れよ。）
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【解答】
ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a+b}{c}\end{align*}}$ ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a-b}{c} \end{align*}}$ ネ a+b≦c ノ -c≦a-b≦c ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{c}\end{align*}}$
ヒ a+b＞c フ -c≦a-b≦c ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a-c}{b}\end{align*}}$ ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b-c}{a}\end{align*}}$
マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(a+b-c\right)^2}{2abc}\end{align*}}$ ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{abc}\end{align*}}$
【解説】
Hの法線ベクトルを $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}=\left(a.b.c\right)\end{align*}}$ とおき、4直線A1B1、A2B2、A3B3、A4B4と
平面Hとの交点をそれぞれC1、C2、C3、C4とおく。
(ニ)
C1(1，1，c1)とおくと、OC1⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC_1}\cdot\overrightarrow{\sf n}=a+b+cc_1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c_1=\underline{-\frac{a+b}{c}}\end{align*}}$
(ヌ)
C4(-1，1，c4)とおくと、OC4⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC_4}\cdot\overrightarrow{\sf n}=-a+b+cc_4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c_4=\underline{\frac{a-b}{c}}\end{align*}}$
(ネ)(ノ)
C1が線分A1B1上にあるための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq -\frac{a+b}{c}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a+b\leqq c}\ \ \ \ \left(\because\ a,b,c>0\right)\end{align*}}$
であり、このとき、C3は、OについてC1と対称なので、線分A3B3上にある。
一方、C4が線分A4B4上にあるための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq \frac{a-b}{c}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{-c\leqq a-b\leqq c}\ \ \ \ \left(\because\ c>0\right)\end{align*}}$
であり、このとき、C2は、OについてC4と対称なので、線分A2B2上にある。
(ハ)
立方体のHによる断面は、4点C1、C2、C3、C4を頂点とする平行四辺形
である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1\left(1,1,-\frac{a+b}{c}\right)\ \ ,\ \ C_2\left(1,-1,\frac{b-a}{c}\right)\ \ ,\ \ C_4\left(-1,1,\frac{a-b}{c}\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf C_1C_2}=\left(0,-2,\frac{2b}{c}\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf C_1C_4}=\left(-2,0,\frac{2a}{c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf C_1C_2}\right|^2=4+\frac{4b^2}{c^2}\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf C_1C_4}\right|^2=4+\frac{4a^2}{c^2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf C_1C_2}\cdot\overrightarrow{\sf C_1C_4}=\frac{4ab}{c^2}\end{align*}}$
よって、断面の面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf 2\triangle C_1C_2C_4 \\ &=\sf \sqrt{\left|\overrightarrow{\sf C_1C_2}\right|^2\left|\overrightarrow{\sf C_1C_4}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf C_1C_2}\cdot\overrightarrow{\sf C_1C_4}\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(4+\frac{4b^2}{c^2}\right)\left(4+\frac{4a^2}{c^2}\right)-\left(\frac{4ab}{c^2}\right)^2}\\ &=\sf \frac{4}{c^2}\sqrt{\left(c^2+b^2\right)\left(c^2+a^2\right)-a^2b^2}\\ &=\sf \frac{4}{c^2}\sqrt{a^2c^2+b^2c^2+c^4}\\ &=\sf \underline{\frac{4}{c}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{align*}}$
(ヒ)
a、b、c＞0より、a+b＞c
(フ)
(ノ)と同様に -c≦a-b≦c
(ヘ)
P(-1，p，1)とおくと、OP⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf n}=-a+bp+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{\frac{a-c}{b}}\end{align*}}$
(ホ)
Q(q，-1，1)とおくと、OQ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf n}=aq-b+c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\underline{\frac{b-c}{a}}\end{align*}}$
(マ)
RはC3と一致し、OについてC1と対称な点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(-1,-1,\frac{a+b}{c}\right)\end{align*}}$
Hと直線B2B3の交点をR’(r’，-1，-1)とおくと、
OR’⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR'}\cdot\overrightarrow{\sf n}=ar'-b-c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r'=\frac{b+c}{a}\end{align*}}$
Hと直線B3B4の交点をR”(-1，r”，-1)とおくと、
OR”⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR''}\cdot\overrightarrow{\sf n}=-a+br''-c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r''=\frac{c+a}{b}\end{align*}}$
△RR’R”の面積をS0とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RR'}=\left(\frac{b+c}{a},-1,-1\right)-\left(-1,-1,\frac{a+b}{c}\right)=\left(\frac{a+b+c}{a},0,-\frac{a+b+c}{c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RR''}=\left(-1,\frac{c+a}{b},-1\right)-\left(-1,-1,\frac{a+b}{c}\right)=\left(0,\frac{a+b+c}{b},-\frac{a+b+c}{c}\right)\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf RR'}\right|^2=\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf RR''}\right|^2=\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RR'}\cdot\overrightarrow{\sf RR''}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_0&=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)\cdot\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-\left\{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{c^2}\right\}^2} \\ &=\sf \frac{\left(a+b+c\right)^2}{2abc^2}\sqrt{\left(c^2+b^2\right)\left(c^2+a^2\right)-a^2b^2} \\ &=\sf \frac{\left(a+b+c\right)^2}{2abc}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$
ここで、△R”R’R∽△PQRであり、相似比は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf RP:RR''&=\sf RA_3:RB_3 \\ &=\sf \left(\frac{a+b}{c}-1\right):\left(\frac{a+b}{c}+1\right)\\ &=\sf \left(a+b-c\right):\left(a+b+c\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PQR=\left(\frac{a+b-c}{a+b+c}\right)^2S_0=\underline{\frac{\left(a+b-c\right)^2}{2abc}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{align*}}$
(ミ)
Hと直線B1B2の交点をP’、Hと直線B1B4の交点をQ’とおく。
(マ)と同様にして計算すると 、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle C_2R'P'=\left(\frac{-a+b+c}{a+b+c}\right)^2S_0\ \ ,\ \ \triangle C_4R''Q'=\left(\frac{a-b+c}{a+b+c}\right)^2S_0\end{align*}}$
なので、Hによる立方体の断面の面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle RR'R''-\triangle PQR-\triangle C_2R'P'-\triangle C_4R''Q'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =S_0-\left(\frac{a+b-c}{a+b+c}\right)^2S_0-\left(\frac{-a+b+c}{a+b+c}\right)^2S_0-\left(\frac{a-b+c}{a+b+c}\right)^2S_0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b-c\right)^2-\left(-a+b+c\right)^2-\left(a-b+c\right)^2}{2abc}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4ab+4bc+4ca-2a^2-2b^2-2c^2}{2abc}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{abc}\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{align*}}$
マ、ミは大変ですので、とりあえず放置しておきましょうｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/04(火) 03:03:00|
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