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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大 理系(2月3日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標空間において、8点A1(1,1,1)、A2(1,-1,1)、
  A3(-1,-1,1)、A4(-1,1,1)、B1(1,1,-1)、B2(1,-1,-1)、
  B3(-1,-1,-1)、B4(-1,1,-1)を頂点とする立方体A1A2A3A4
  B1B2B3B4がある.また、正の定数a、b、cに対し、原点を通りベクトル
  (a,b,c)に垂直な平面をHとする。

 (1) 点A1、B1を通る直線と平面Hとの共有点のz座標は ニ  であり、
    点 A4、B4を通る直線と平面Hとの共有点のz座標は ヌ  である。
    これより、4つの線分A1B1、A2B2、A3B3、A4B4の全てと平面Hが
    共有点を持つためのa、b、cが満たすべき必要十分条件は ネ 
    かつ ノ  である。a、b、cが ネ  かつ ノ  を満たすとき、立方
    体A1A2A3A4‐B1B2B3B4の平面Hによる切り口の面積は
           ハ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$
    である。 (注: ネ  ノ  には、a、b、cの関係式を入れよ。)

 (2) 線分A1B1と平面Hが共有点を持たず、線分A4B4と平面Hが共有点
    を持つためのa、b、cが満たすべき必要十分条件は ヒ  かつ フ 
    である。a、b、cが ヒ  かつ フ  を満たすとき、線分A3A4と平面
    H、線分A2A3と平面Hはそれぞれ共有点を持つ。これらをそれぞれ
    点P、Qとすると、点Pのy座標は ヘ  であり、点Qのx座標は ホ 
    である。点A3,B3を通る直線と平面Hとの共有点をRとすると、△PQR
    の面積は マ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$ である。よって、立方体A1A2A3A4‐B1
    B2B3B4の平面Hによる切り口の面積は ミ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{align*}}$ となる。
     (注: ヒ  フ  には、a、b、cの関係式を入れよ。)




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