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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  a、b、kは0ではない実数とし、i は虚数単位とする。複素数からなる数列
  {zn}を次の漸化式で定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf z_1=a+bi\ \ ,\ \ z_{n}=\left(k+2i\right)z_{n-1}+2\overline{z_{n-1}}\ \ \ \left(n=2,3,\cdots\right)\end{align*}}$
  数列{zn} の一般項を次の手順で求める。まず、zn=xn+yni とおく。
  ただし、xn、ynは実数である。このとき数列{zn}の漸化式から、数列{xn}、
  {yn} に関する漸化式
         xn=( コ  )xn-1- サ  yn-1
         yn= シ  xn-1+( ス  )⁢yn-1     (n= 2,3,・・・)
  を得る。これよりxn-yn= セ  を得る。したがって、数列{xn}は漸化式
         xn= ソ  ⁢xn-1+ タ     (n=2,3,・・・)
  を満たす。これより、数列{xn} の一般項は
         xn= チ    (n=1,2,・・・)
  と求まり、数列{yn} の一般項も
         yn= ツ    (n=1,2,・・・)
  と求まる。
      (注: セ  タ  ツ  は、a、b、k、nを用いて表せ。 ソ 
       はkを用いて表せ。)

  次に、znの実部xnと虚部ynとの比を調べる.

 (1) a=bのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x_n}{y_n}\end{align*}}$ = テ  である。また、a<0かつk>0のとき、arg zn=
     ト  である。ただし、znの偏角 arg znは 0≦arg zn<2⁢$\small\sf{\pi}$ とする。

 (2) a≠bのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}\end{align*}}$= ナ  である。




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