第4問
図1のように10点がそれぞれ辺で結ばれている図をAさんとBさんに渡した。
さらにBさんは図2のように横軸と縦軸に数字を書き込んだ。図1においてA
さんが無作為に選んだ点を、Bさんが見てその点を横軸と縦軸の数字で評価
する。例えば、図2の点Pの横軸の評価は2で、縦軸の評価は7である。
(1) Aさんが10点の中から1点を選ぶとき、Bさんによる横軸の評価が2以上で
ある確率は ム である。また、横軸と縦軸の評価の積が 18 以上になる
確率は メ である。
(2) (1)と同様に、Aさんが10点の中から1点を選ぶ試行を2回繰り返すとき、
その2点が同じ点である確率は モ である。また、その2点を結ぶ辺の
数の最小値が2以上である確率は ヤ である。ただし、図3において、
2点を結ぶ辺の数の最小値の例を挙げる。
次に、1点目の縦軸の評価と2点目の横軸の評価の積が18以上になる確率
は ユ になる。また。2点目の横軸の評価が2以上であることがわかった
ときに、1点目の縦軸の評価と2点目の横軸の評価の積が18以上になる確
率は ヨ である。
(3) 最後に、Aさんが10点の中から1点を選ぶ試行を10回繰り返すとき、選んだ
全ての点が異なる点である確率は ラ である。
（注： ム ～ ヨ は、既約分数で答えよ。）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ム $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\end{align*}}$ メ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{10}\end{align*}}$ モ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{10}\end{align*}}$ ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\end{align*}}$ ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{25}\end{align*}}$
ヨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{15}\end{align*}}$ ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{567}{1562500}\end{align*}}$
【解説】
(ム)
右図のように10個の点をa～jとすると、
条件を満たすのは、e～jの6つの点なので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{10}=\underline{\frac{3}{5}}\end{align*}}$
(メ)
条件を満たすのは、h、i、jの3つの点なので、
求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\frac{3}{10}}\end{align*}}$
(モ)
a～jの10通りの場合があるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{10^2}=\underline{\frac{1}{10}}\end{align*}}$
(ヤ)
1回目にaを選んだとき、2回目の点とを結ぶ線分の長さが2以上になるのは、
2回目にa、b、e以外の7点を選んだ場合である。
1回目がbのときは6通り
1回目がcのときは6通り
1回目がdのときは7通り
1回目がeのときは5通り
1回目がfのときは5通り
1回目がgのときは6通り
1回目がhのときは5通り
1回目がiのときは6通り
1回目がjのときは7通り
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7+6+6+7+5+5+6+5+6+7}{10^2}=\underline{\frac{3}{5}}\end{align*}}$
(ユ)
1回目が5で2回目が4のとき、積は20で、1×1=1通り
1回目が6で2回目が3のとき、積は18で、2×2=4通り
1回目が6で2回目が4のとき、積は24で、2×1=2通り
1回目が7で2回目が3のとき、積は21で、3×2=6通り
1回目が7で2回目が4のとき、積は28で、3×1=3通り
1回目が8で2回目が3のとき、積は24で、4×2=8通り
1回目が8で2回目が4のとき、積は32で、4×1=4通り
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+4+2+6+3+8+4}{10^2}=\underline{\frac{7}{25}}\end{align*}}$
(ヨ)
2点目の横軸の評価が2以上になる確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{10}\end{align*}}$
なので、求める条件付き確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{7}{25}}{\frac{3}{5}}=\underline{\frac{7}{15}}\end{align*}}$
(ラ)
1～10回目の数の選び方は10!通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10!}{10^{10}}=\underline{\frac{567}{1562500}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/04(火) 05:08:00|
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