ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$ ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$ ヌ 1-a ネ a
ノ 0 ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$ ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{25}\end{align*}}$ フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt6}{5}\end{align*}}$ ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$
ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{25}\sqrt2\end{align*}}$ マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt2}{10}\end{align*}}$ ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{375}\end{align*}}$
【解説】
(ト)(ナ)(ニ)
P(2p，p，2p)とおくと、Pは平面ABC上にあるので、実数s、tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2p-1,p,2p\right)=s\left(-1,1,0\right)+t\left(-1,0,1\right)\end{align*}}$
と表せる。両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p-1=-s-t\ \ ,\ \ p=s\ \ ,\ \ 2p=t\end{align*}}$
となり、これを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{5}\end{align*}}$
なので、Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{P\left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)}\end{align*}}$
(ヌ)(ネ)(ノ)
MはABをa：(1-a)に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\left(1-a\right)\overrightarrow{\sf OA}+a\overrightarrow{\sf OB}=\underline{\left(1-a,a,0\right)}\end{align*}}$
(ハ)(ヒ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}=\left(\frac{3}{5}-a,a-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf MP}\right|^2&=\sf \left(\frac{3}{5}-a\right)^2+\left(a-\frac{1}{5}\right)^2+\left(-\frac{2}{5}\right)^2\\ &=\sf 2a^2-\frac{8}{5}a+\frac{14}{25}\\ &=\sf \underline{2\left(a-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{6}{25}}\end{align*}}$
(フ)
△ABCと△ABDはxy平面について対称なので、Qはxy平面について
Pと対称であり、その座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(\frac{2}{5},\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\end{align*}}$
MPの長さが最小になるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(\frac{3}{5},\frac{2}{5},0\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf MQ}=\left(-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf MQ}\right|=\sqrt{\left(-\frac{1}{5}\right)^2+\left(-\frac{1}{5}\right)^2+\left(-\frac{2}{5}\right)^2}=\underline{\frac{\sqrt6}{5}}\end{align*}}$
(ヘ)
MPの長さが最小になるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MP}=\left(-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf MP}\right|=\frac{\sqrt6}{5}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf MP}\cdot\overrightarrow{\sf MQ}=\frac{1}{25}+\frac{1}{25}-\frac{4}{25}=-\frac{2}{25}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{-\frac{2}{25}}{\frac{\sqrt6}{5}\cdot\frac{\sqrt6}{5}}=\underline{-\frac{1}{3}}\end{align*}}$
(ホ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt2}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PMQ=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt6}{5}\cdot\frac{\sqrt6}{5}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=\underline{\frac{2\sqrt2}{25}}\end{align*}}$
(マ)
Hは平面MPQ上にあるので、実数h、kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MH}=h\overrightarrow{\sf MP}+k\overrightarrow{\sf MQ}=h\left(-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)+k\left(-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}&=\sf \overrightarrow{\sf CM}+\overrightarrow{\sf MH} \\ &=\sf \left(\frac{3}{5},\frac{2}{5},-1\right)+h\left(-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)+k\left(-\frac{1}{5},-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\\ &=\sf -\frac{1}{5}\left(h+k-3,h+k-2,-2h+2k+5\right)\end{align*}}$
CH⊥平面MPQより、CH⊥MPかつCH⊥MQなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 25\overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf MP}&=\sf \left(h+k-3\right)+\left(h+k-2\right)+2\left(2h-2k-5\right) \\ &=\sf 6h-2k-15=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 25\overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf MQ}&=\sf \left(h+k-3\right)+\left(h+k-2\right)-2\left(2h-2k-5\right) \\ &=\sf -2h+6k+5=0\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=\frac{5}{2}\ ,\ k=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=\left(\frac{1}{10},-\frac{1}{10},0\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf CH}\right|^2=\sqrt{\left(\frac{1}{10}\right)^2+\left(-\frac{1}{10}\right)^2+0}=\underline{\frac{\sqrt2}{10}}\end{align*}}$
(ミ)
四面体CPMQの体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt2}{25}\cdot\frac{\sqrt2}{10}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\frac{2}{375}}\end{align*}}$
(マ)以降が面倒なので、後回しです。
