ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{p+1}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{q}{p+1}\end{align*}}$ ウ q-1 エ m!n! オ -2
カ 2($\scriptsize\sf{\beta}$ -$\scriptsize\sf{\alpha}$ )4 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt6}{2}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{105}\left(\beta-\alpha\right)^7\end{align*}}$
【解説】
(ア)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I\left(p,0\right)=\int_0^1x^pdx=\left[\frac{x^{p+1}}{p+1}\right]_0^1=\underline{\frac{1}{p+1}}\end{align*}}$
(イ)(ウ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \rm I\sf \left(p,q\right)&=\sf \int_0^1\left(\frac{x^{p+1}}{p+1}\right)'\left(1-x\right)^qdx \\ &=\sf \left[\frac{x^{p+1}}{p+1}\left(1-x\right)^q\right]_0^1-\int_0^1x^{p+1}\cdot q\left(1-x\right)^{q-1}\cdot\left(-1\right)dx\\ &=\sf 0+\frac{q}{p+1}\int_0^1x^{q+1}\left(1-x\right)^{q-1}dx\\ &=\sf \underline{\frac{q}{p+1}\ I\left(p+1,q-1\right)}\end{align*}}$
(エ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \rm I\sf \left(m,n\right)&=\sf \frac{n}{m+1}\cdot\ I\left(m+1,n-1\right) \\ &=\sf \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\ I\left(m+2,n-2\right)\\ &\vdots\sf \\ &=\sf \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdots\cdots\frac{1}{m+n}\ I\left(m+n,0\right)\\ &=\sf \frac{n!}{\frac{\left(m+n\right)!}{m!}}\cdot\frac{1}{m+n+1}\\ &=\sf \underline{\frac{m!n!}{\left(m+n+1\right)!}}\end{align*}}$
(オ)
0でない実数aを用いて
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^2}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\sf f(0)=-a\alpha\beta^2=2\alpha\beta^2
より、a=-2
(カ)
$\scriptsize\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲で常にf(x)≦0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_{\alpha}^{\beta}\bigg\{-f\left(x\right)\bigg\}dx \\ &=\sf 2\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)^2dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf 2\int_0^1\left(\beta-\alpha\right)t\bigg\{\left(\beta-\alpha\right)t-\left(\beta-\alpha\right)\bigg\}^2\cdot\left(\beta-\alpha\right)dt \\ &=\sf 2\left(\beta-\alpha\right)^4\int_0^1t\left(1-t\right)^2dt\\ &=\sf \underline{2\left(\beta-\alpha\right)^4\rm I\sf \left(1,2\right)}\end{align*}}$
(キ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf \left(1,2\right)=\frac{1!\cdot 2!}{4!}=\frac{1}{12}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{2}{12}\left(\beta-\alpha\right)^4=\frac{3}{8}\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta-\alpha=\underline{\frac{\sqrt6}{2}\ (>0)}\end{align*}}$
(ク)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\left(x-\alpha\right)^2\left(x-\beta \right)^4\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ の範囲で常に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)\geqq 0\end{align*}}$ なので、
求める体積をS2とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2&=\sf \int_{\alpha}^{\beta}g\left(x\right)dx \\ &=\sf \int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha\right)^2\left(x-\beta\right)^4dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2&=\sf \int_0^1\bigg\{\left(\beta-\alpha\right)t\bigg\}^2\bigg\{\left(\beta-\alpha\right)t-\left(\beta-\alpha\right)\bigg\}^4\cdot\left(\beta-\alpha\right)dt \\ &=\sf \left(\beta-\alpha\right)^7\int_0^1t^2\left(1-t\right)^4dt\\ &=\sf \left(\beta-\alpha\right)^7 \rm I\sf \left(2,4\right)\\ &=\sf \left(\beta-\alpha\right)^7\cdot\frac{2!\cdot 4!}{7!}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{105}\left(\beta-\alpha\right)^7}\end{align*}}$
x：$\scriptsize\sf{\alpha}$ →$\scriptsize\sf{\beta}$ に対して、t：0→1 となるように置換するのが難しいでしょうね。
