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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2017立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  p≧0、q≧0に対して、定積分I(p,q)を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf \left(p,q\right)=\int_0^1x^p\left(1-x\right)^qdx\end{align*}}$

 (1) I(p,0)= ア  である。q>0のとき、I(p,q)に対し、部分積分法を1回
    用いると
       I(p,q)= イ  I(p+1, ウ  )
    を得る。この関係式より、m、nを自然数とすると
            0002_20170911171145b24.jpg
    が得られる。
       (注: エ  には、Iを用いないm、nの式を入れよ。)

 (2) 3次関数y=f(x)のグラフが、x軸と2つの共有点$\small\sf{\sf (\alpha,\ 0)\ ,\ (\beta,\ 0)\ \ (\alpha\lt\beta\ ,\ \alpha\beta\ne 0)}$
    をもち、$\small\sf{\sf x=\beta}$ でx軸に接するとする。この3次関数f(x)について、
    $\small\sf{\sf f(0)=2\alpha\beta^2}$ であるとき、f(x)の最高次の係数は オ  である。このとき、
    この3次関数のグラフとx軸で囲まれた図形の面積SをI(1,2)を用いて表すと
        S= カ  I⁡(1,2)
    となる。特に $\small\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{3}{8}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\beta-\alpha}$ = キ  である。
       (注:  カ  には、積分記号を含まない$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ の式を入れよ。 キ 
        には、数を入れよ。)

 (3) 最高次の係数が1である6次関数$\small\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)\end{align*}}$ について、方程式$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=0\end{align*}}$ が$\small\sf{x=\alpha}$
    のとき2重解、$\small\sf{x=\beta}$ のとき4重解をもつとする。ただし、$\small\sf{\alpha\lt\beta}$ とする。このとき、
    曲線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)\end{align*}}$ とx軸で囲まれた図形の面積は ク  である。




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